Matematické Fórum

Marten999 · 04. 04. 2012 18:58

Dobrého dne,

snažím se vypočítat příklad $\lim_{x\to inf}(3^{1/x}-2^{1/x})\cdot x$ podle L'Hospitalova pravidla. Mám problém s tím, jak se zbavit těch mocnin... ty to zesložiťují. :-(

Napadlo mě, že by to šlo hezky derivovat jako polynom, ale to je problém, když $x$ je proměnná.

Mohl by mi, prosím, někdo poradit, jak na to?? Předem děkuji.

jardofpr · 04. 04. 2012 19:02

ahoj ↑ Marten999:

substitúciou $t=1/x$ dostane limita tvar

$\lim_{t \to 0^{+}}\frac{3^{t}-2^{t}}{t}$

Marten999 · 04. 04. 2012 19:19

↑ jardofpr:
Nojo, ale když to zderivuju, tak dostanu ${\frac {{2}^{t}\ln \left( 2 \right) -{3}^{t}\ln \left( 3 \right) }{t }}-{\frac {{2}^{t}-{3}^{t}}{{t}^{2}}}$ , ale těch mocnin na t se pak zbavit stejně nedá, ne? Alespoň to v tom teda nevidím... Výsledek má vyjít pouze $\ln \frac{3}{2}$ .

jardofpr · 04. 04. 2012 19:54

↑ Marten999:

ak to má byť použitie l'hospitalovho pravidla, tak ho používaš zle
ak sú splnené určité predpoklady (tie si môžeš nájsť veľmi ľahko na webe)
tak platí
$\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

to znamená že je to limita podielu derivácie funkcie v čitateli a derivácie funkcie v menovateli

nederivuje sa ako zlomok

halogan · 04. 04. 2012 19:54

↑ Marten999:

Jakým způsobem jste to zderivoval do tvaru ${\frac {{2}^{t}\ln \left( 2 \right) -{3}^{t}\ln \left( 3 \right) }{t }}-{\frac {{2}^{t}-{3}^{t}}{{t}^{2}}}$ ?

Jednoduchou derivací byste měl k výsledku dojít okamžitě.

Takjo · 04. 04. 2012 19:57 — Editoval Takjo (04. 04. 2012 19:59)

↑ Marten999:
$\lim_{t\to0^{+}}\frac{3^{t}-2^{t}}{t}$
zderivuji zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele: $\frac{3^{t}*ln3-2^{t}*ln2}{1}$
a potom $\lim_{t\to0^{+}}(3^{t}*ln3-2^{t}*ln2)=1*ln3-1*ln2=ln\frac{3}{2}$

halogan · 04. 04. 2012 19:59

Jen ještě naznačím, jak by se dalo postupovat s původním tvarem

$\lim_{x\to \infty} (3^{1/x}-2^{1/x})\cdot x = \lim_{x\to \infty} \frac{e^{\frac 1x \log 3}-e^{\frac 1x \log 2}}{\frac 1x} =^{\mathrm{L'H}} \lim_{x\to \infty} \frac{3^{1/x} \cdot \log 3 \cdot $\frac 1x$'-2^{1/x}\cdot \log 2 \cdot $\frac 1x$'}{$\frac 1x$'}$

Ani nemusíte počítat ty derivace polynomu, pokrátí se. Pak už stačí jen "dosadit".

Marten999 · 04. 04. 2012 20:01

↑ halogan: ${\frac {{2}^{t}\ln \left( 2 \right) -{3}^{t}\ln \left( 3 \right) }{t }}-{\frac {{2}^{t}-{3}^{t}}{{t}^{2}}}$
To jsem derivoval podle pravidel... jako zlomek... zapomněl jsem, že je to limita, samozřejmě... proto jsem s tím měl až takový problém...

Můžu se ještě zeptat, proč je po substituci x->0+, když v původním zadání je x->inf??

jardofpr · 04. 04. 2012 20:10

↑ Marten999:

nie $x \to 0^{+}$ ale $t \to 0^{+}$

zjednodušene, substitúciou sme položili $t=1/x$ takže ak $x \to \infty$ , kam pôjde $t$ ?

Marten999 · 04. 04. 2012 20:13

↑ jardofpr:
Jo, aha... když je t=1/x, kde x jde do inf, tak t jde do 0... vždyť je to tak triviální, či "evidentní", jak říkají matematičtí profesoři...

Děkuji Vám všem mnohokáte!!!

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2012 18:58

Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#2 04. 04. 2012 19:02

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#3 04. 04. 2012 19:19

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#4 04. 04. 2012 19:54

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#5 04. 04. 2012 19:54

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#6 04. 04. 2012 19:57 — Editoval Takjo (04. 04. 2012 19:59)

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#7 04. 04. 2012 19:59

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#8 04. 04. 2012 20:01

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#9 04. 04. 2012 20:10

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

#10 04. 04. 2012 20:13

Re: Určení limity podle l'Hospitalova pravidla

Zápatí