Matematické Fórum

HellBoyCz

Dobrý den,
chtěl bych vás poprosit zda li by mi někdo nepomohl s úpravou téhle derivace:

$f(x)=\frac{216}{x*\sqrt{18-x^2}}$

postupovál jsem takhle:

derivace 1 fce * 2fce -1 fce * derivace vnější 2 fce * derivace vnitřní 2 fce, to první x u druhé fce mi da jedna nebo to mám brát jako další fci?

$f(x)=\frac{216}{x*(\sqrt{18-x^2)}} = \frac{0*x*(\sqrt{18-x^2}) - 216*(\sqrt{18-x^2}+x*\frac12 * (18-x^2)^\frac{-1}{2}*(-2x))}{(x*(\sqrt{18-x^2}))^2}=$

bohužel dále nevím jak pokračovat s úpravami :(

Takjo · 04. 04. 2012 10:23

↑ HellBoyCz:
Dobrý den,
to je celé nějak divně zderivované.
Nutno použít vzorec pro derivaci podílu (derivace 216 = 0 !) a pozor na derivaci součinu ve jmenovateli.

Takjo · 04. 04. 2012 10:40

↑ HellBoyCz:
Dobrý den,
tak ještě jednou: $[\frac{216}{x*\sqrt{18-x^2}}]'=\frac{-216*[\sqrt{18-x^{2}}+x*\frac{1}{2}*(18-x^{2})^{-\frac{1}{2}}*(-2x)]}{x^{2}*(18-x^{2})}$

Teď již možná bude úprava jednodušší...

HellBoyCz · 04. 04. 2012 10:48

↑ Takjo:

Děkují za upozornění:

derivace podílu by měla vypadat takhle:

derivace 1fce * nederivovaná 2fce - nederivovaná 1fce * derivace 2fce to cele děleno 2fci na 2.

1fce je ve čitateli a druha v jmenovateli. (doufám že je to ok )

Rumburak

↑ HellBoyCz:
Zdravím.
Ten zápis $f(x)=\frac{216}{x*(\sqrt{18-x^2)}} = \frac{1*x*(\sqrt{18-x^2}) - 216*1*\frac12 * (18-x^2)^\frac{-1}{2}*(1-2x)}{(x*(\sqrt{18-x^2}))^2}= ?$
je chybný i po formální stránce, protože druhá rovnost identicky neplatí (ani kdyby to pak bylo zderivováno správně).
V podobných případech nutno psát $\left(\frac{216}{x*(\sqrt{18-x^2)}}\right)' = ...$ a pod.

Pokud jde o vlastní techniku derivování, zde mi připadá výhodné převést zlomek a odmocninu na mocniny:

$f(x)=\frac{216}{x*(\sqrt{18-x^2)}} = 216 \left(x\, (18-x^2)^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}$ .

HellBoyCz · 04. 04. 2012 10:53

ok upravím to v prvním příspěvku a zkusím dopočítat. Dám pak tady výsledek.

Děkují všem za ochotu.

HellBoyCz · 04. 04. 2012 11:00

↑ Rumburak:

Pěkný způsob :) vyzkouším i ten tvůj v rámci procvičení

HellBoyCz · 04. 04. 2012 17:07

pokračovaní:

$\frac{-216*(\sqrt{18-x^2}+\frac{-x^2}{\sqrt{18-x^2}})}{x^2*(18-x^2)}= \frac{-216*(\frac{(\sqrt{18-x^2})^2-x^2}{\sqrt{18-x^2}})}{x^2*(18-x^2)}=$

$= \frac{-216*(18-2x^2)*x^2*(18-x^2)}{\sqrt{18-x^2}}= \frac{432*(9-x^2)*x^2*(18-x^2)}{\sqrt{18-x^2}} = ?$

bohužel mě nenapadají další úpravy :(, nebo jsem zase někde udělal chybu :(

Takjo · 04. 04. 2012 19:26

↑ HellBoyCz:
Dobrý večer,
tak zkusíme pokračovat:

$\frac{-216*[\sqrt{18-x^{2}}-\frac{2x^{2}}{2*\sqrt{18-x^{2}}}]}{x^{2}*(18-x^{2})}=\frac{-216*[18-2x^{2}]}{x^{2}*(18-x^{2})*\sqrt{18-x^{2}}}=\frac{-216*[18-2x^{2}]}{x^{2}*(18-x^{2})^{\frac{3}{2}}}$

vanok · 04. 04. 2012 19:54 — Editoval vanok (04. 04. 2012 19:56)

Poznamka: dam ti este inu metodu
tato rovnost
$f(x)=\frac{216}{x*\sqrt{18-x^2}}$
nam da
$f(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ =216$
Ak zderivujes formalne tuto relaciu a nahradis na koniec v nej f(x); dostanes po malych upravach f'(x).

HellBoyCz · 04. 04. 2012 20:00

Dobrý večer, předem děkují za trpělivost se mnou:

Takjo napsal(a):
↑ HellBoyCz:
Dobrý večer,
tak zkusíme pokračovat:

$\frac{-216*[18-2x^{2}]}{x^{2}*(18-x^{2})*\sqrt{18-x^{2}}}$

nějak nemohu úpravami dosáhnout tohoto zlomku, asi dělám nějakou nepovolenou úpravu.
ve čitateli jsem pokrátil 2 ,dal jsem společný jmenovatel a dostal jsem tenhle výsledek.

$\frac{-216*(\frac{(\sqrt{18-x^2})^2-x^2}{\sqrt{18-x^2}})}{x^2*(18-x^2)}$

Děkují za pomoc

Takjo · 04. 04. 2012 20:08

↑ HellBoyCz:
Dobrý večer,
předně jde o složený zlomek, upravte ho dle schématu: $\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}}=\frac{AD}{BC}$

a odmocnina na druhou se "pokrátí"...

vanok · 04. 04. 2012 20:12 — Editoval vanok (04. 04. 2012 20:16)

↑ vanok:, dobre dam ti aj dalsiu etapu
derivujme
$f(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ =216$

To nam da
$f'(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ +f(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $' =0$
z toho
$f'(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ +f(x)\cdot $\sqrt{18-x^2} + x*\frac{-2x}{2*\sqrt{18-x^{2}} }$=0$

A zvysok iste dokazes

HellBoyCz

↑ Takjo:

Aaaaaaaaaaaaaaaa už to vidím, co jsem dělal za chybu

a ještě otázečka, kde se ztratili -x na 2

protože jsem dostal tohle:

$\frac{-216*((\sqrt{18-x^2})^2-x^2)}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}$

odmocnina a mocnina se mi samozřejmě pokrátí

$\frac{-216*({18-x^2})-x^2}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}$

už vím kde je :)

$\frac{-216*({18-2x^2})}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}$

jak mohu upravit ten jmenovatel:

$x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}$

děkují

Takjo · 04. 04. 2012 20:47

↑ HellBoyCz:
Dobrý večer,

tak snad už nám to vyjde: $\frac{-216*((\sqrt{18-x^2})^2-x^2)}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}=\frac{-216*({18-x^2}-x^2)}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}=\frac{-216*({18-2x^2})}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}$

Takjo · 04. 04. 2012 20:50

↑ HellBoyCz:
Dobrý večer,
úprava jmenovatele: ${x^{2}*(18-x^{2})^{\frac{3}{2}}}$

HellBoyCz · 04. 04. 2012 20:50

vanok napsal(a):
↑ vanok:, dobre dam ti aj dalsiu etapu
derivujme
$f(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ =216$

To nam da
$f'(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ +f(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $' =0$
z toho
$f'(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ +f(x)\cdot $\sqrt{18-x^2} + x*\frac{-2x}{2*\sqrt{18-x^{2}} }$=0$

A zvysok iste dokazes

Dostal jsem tohle:

$f'(x)\cdot $x*\sqrt{18-x^2} $ +f(x)*(\frac{18-2x^2}{\sqrt{18-x^2}})=0$

HellBoyCz

↑ Takjo:

už chápu mocniny se nám sčítají, njn když někdo zapomene základní věci :) pak je to sním těžké :D

Ještě jednou dík

Takjo · 04. 04. 2012 21:16

↑ HellBoyCz:
... není zač, hodně štěstí :)

HellBoyCz · 04. 04. 2012 21:24

snad už je to ok :)

$\frac{-216*((\sqrt{18-x^2})^2-x^2)}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}=\frac{-216*({18-x^2}-x^2)}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}=\frac{-216*({18-2x^2})}{x^2*(18-x^2)*\sqrt{18-x^2}}=\frac{432*({x^2-9})}{x^2*\sqrt{(18-x^2)^3}}$

Takjo · 04. 04. 2012 21:54

↑ HellBoyCz:
OK, perfektní :)

HellBoyCz

Dobrý den,

chtěl bych ještě poprosit o kontrolu téhle derivace.

$f'(x)=[\frac{2x+3}{(x+1)^2}]'=\frac{2*(x+1)^2 - ((2x+3)*2*(x+1)*1)}{(x+1)^4}=\frac{2*(x+1)^2 - (4x^2+10x+6)}{(x+1)^4}=$

$=\frac{2x^2+4x+2-4x^2-10x-6}{(x+1)^4}=\frac{-2x^2-6x-4}{(x+1)^4}$

předem děkují

Rumburak

↑ HellBoyCz:
Zdravím,
na první pohled je to špatně: Některá z rovností Tvého řetězu nemůže platit, protože jinak bychom pomocí transitivity rovnosti dostali

$\frac{2x+3}{(x+1)^2}=\frac{-6x-6}{(x+1)^2}$

a odtud úpravami postupně

$2x + 3 = -6x - 6, \\ 8x = -9, \\ x = - \frac {8}{9}$ .

Tvůj postup je tedy správný nanejvýše pro $x = - \frac {8}{9}$ . :-(

Chyba vznikla tím, že necitlivě zacházíš se znaménkem "=" . Derivace funkce f obecně není totéž, co funkce f , takže identita f(x) = f'(x) obecně neplatí
(někdy sice ptatí, ale to pouze pro funkce tvaru $f(x) = K\,\mathrm{e}^x$ , kde K je konstanta).

Chceš-li derivovat funkci $f(x)=\frac{2x+3}{(x+1)^2}$ , nemůžeš výpočet zapisovat tak, že k této rovnosti jen připíšeš další rovnítko a pak už derivuješ.
Za takovou chybu bys také mohl okamžitě vyletět od zkoušky, už jednou jsem Ti ji vytkl - viz ↑ Rumburak:.

Navíc tam máš i chybu v použití vzorce pro derivaci podílu - špatně jsi zderivoval čitatele.

HellBoyCz · 06. 04. 2012 11:32

Snad už je ten zápis v pořádku, našel jsem tam tu chybku v úpravě, pokud jsem použil blbý vzorec, prosím jaký bych měl použít. Myslel jsem, že to je podíl 2 fci

Rumburak · 06. 04. 2012 11:52

↑ HellBoyCz:
Zápis už je formálně v pořádku, ta další chyba je už také odstraněna, takže až do konce prvního řádku je to dobře.

Pak jsi ale v čitateli zapomněl umocnit $(x+1)^2$ a ve jmenovateli se z $(x+1)^4$ najednou stalo $(x+1)^2$ (podotýkám, že zlomek zatím
není v takovém tvaru, aby se dal krátit).

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2012 10:13 — Editoval HellBoyCz (04. 04. 2012 10:57)

derivace fce - úprava

#2 04. 04. 2012 10:23

Re: derivace fce - úprava

#3 04. 04. 2012 10:40

Re: derivace fce - úprava

#4 04. 04. 2012 10:48

Re: derivace fce - úprava

#5 04. 04. 2012 10:49 — Editoval Rumburak (04. 04. 2012 10:57)

Re: derivace fce - úprava

#6 04. 04. 2012 10:53

Re: derivace fce - úprava

#7 04. 04. 2012 11:00

Re: derivace fce - úprava

#8 04. 04. 2012 17:07

Re: derivace fce - úprava

#9 04. 04. 2012 19:26

Re: derivace fce - úprava

#10 04. 04. 2012 19:54 — Editoval vanok (04. 04. 2012 19:56)

Re: derivace fce - úprava

#11 04. 04. 2012 20:00

Re: derivace fce - úprava

Takjo napsal(a):

#12 04. 04. 2012 20:08

Re: derivace fce - úprava

#13 04. 04. 2012 20:12 — Editoval vanok (04. 04. 2012 20:16)

Re: derivace fce - úprava

#14 04. 04. 2012 20:24 — Editoval HellBoyCz (04. 04. 2012 20:39)

Re: derivace fce - úprava

#15 04. 04. 2012 20:47

Re: derivace fce - úprava

#16 04. 04. 2012 20:50

Re: derivace fce - úprava

#17 04. 04. 2012 20:50

Re: derivace fce - úprava

vanok napsal(a):

#18 04. 04. 2012 21:01 — Editoval HellBoyCz (04. 04. 2012 21:02)

Re: derivace fce - úprava

#19 04. 04. 2012 21:16

Re: derivace fce - úprava

#20 04. 04. 2012 21:24

Re: derivace fce - úprava

#21 04. 04. 2012 21:54

Re: derivace fce - úprava

#22 06. 04. 2012 09:25 — Editoval HellBoyCz (10. 04. 2012 11:40)

Re: derivace fce - úprava

#23 06. 04. 2012 11:07 — Editoval Rumburak (06. 04. 2012 11:15)

Re: derivace fce - úprava

#24 06. 04. 2012 11:32

Re: derivace fce - úprava

#25 06. 04. 2012 11:52

Re: derivace fce - úprava

Zápatí