Matematické Fórum

Ismael · 04. 04. 2012 20:38 — Editoval Ismael (04. 04. 2012 21:27)

Mám poměrně zajímavý osobní problém,
absolutně jsem se už tři hodiny zasekl na následujícím příkladě:

O dům je opřený žebřík dlouhý 13 stop. Náhle základna žebříku podklouzne a žebřík začne
sjíždět k zemi (stále zůstává opřený o dům). Když je základna žebříku 12 stop od domu, klouže od něj
rychlostí 5 ft/s. Jak rychle v tomto okamžiku
(a) klesá vršek žebříku po zdi;
(b) se mění obsah trojúhelníku vymezeného žebříkem, domem a zemí;
(c) se mění úhel, který svírá žebřík se zemí?

Rád bych určitou radu jak na to. Dostal jsem se tak daleko, že jsem si vyjádřil okamžité změny všech veličin ze zadání ovšem stále jsem ve stavu "soustava 5 rovnic pro 4 neznámé" a mám podezření, že můj přístup je absolutně špatně. Nějaké návrhy ? Děkuji.

jardofpr · 04. 04. 2012 21:28

↑ Ismael:

možno by bolo vhodné uviesť tvoj prístup, lepšie sa potom zisťuje či to funguje alebo nie

a ak máš niečo hotové, a je to trebárs dobre, ušetríš odpovedajúcemu čas

Ismael · 04. 04. 2012 21:35 — Editoval Ismael (04. 04. 2012 21:36)

↑ jardofpr:
To co mám hotové jsou následující rovnice:

ds/dt = (12 - x)/t = 5 (tyka se zakladny ve vzd. 12 stop)

ds2/dt = (sqrt(13^2-x^2) - 5)/t (tyka se bodu, ktery klouze po stene)

da/dt = (12/13 - x/13)/t (tyka se uhlu)

dS/dt = (30 - x*sqrt(13^2 - x^2)/2)/t (tyka se obsahu),

kde x je puvodni velikost zakladny pred pohybem.

jardofpr

↑ Ismael:

teda budem rád ak na toto ešte niekto zareaguje

mne sa to javí tak že ešte nejaké údaje sa dajú z toho vytrieskať

x bude zrejme skôr parameter ako premenná, bude sa voliť teda pred ďalším výpočtom

zrejme predpokladáme že rýchlosť v bode $x$ na osi na ktorej leží základňa je nulová v čase $t=0$

poznáme dĺžku rebríka (ozn.povedzme L), x je zvolené, chýba nám tretia strana pravouhlého trojuholníka
takže nie je problém zistiť v akej výške sa rebrík dotýka steny domu v čase $t=0$
(vďaka Pytagoras)

máme všetky strany trojuholníka, z toho sa dá zistiť aký je jeho obsah v čase $t=0$ , aj
aký uhol zviera v nulovom čase rebrík so základňou

ok, teraz som si všimol že to máš v tých rovniciach zapísané už :)

predpokladal by som že $s(t)$ je kvadratická funkcia premennej $t$ ako to býva pri
pohybových rovniciach takto súvisiacich s gravitáciou (alebo teda voľným pádom)

podmienky $s(0)=0$ a $s'(0)=0$ zaručia tvar $s(t)=Kt^{2}\,\,,\,\,K\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$

v nejakom čase $t=T>0$ je $s(T)=12-x$ a zároveň $s'(T)=5$

to sú dve rovnice o neznámych $K,T$

nie sú síce lineárne v $T$ ale jeden koreň je $T=0$ ten nás nezaujíma

teraz vieme v akom čase $T$ sa stalo že je základňa dlhá 12 stôp a máme explicitný predpis funkcie $s$
( poznamenať asi treba že sú závislé od $x$ )

pri ostatných výpočtoch by sa mali dať podobne využiť podmienky v čase $t=0$

snáď som sa niekde nesekol, vo fyzike nie som až tak doma,
ale keď tak určite ma niekto upozorní

verím že teraz to už dorátaš aj sám ;-)

zdenek1 · 05. 04. 2012 10:59

↑ Ismael:
a) bych viděl asi takto:
Máš dánu derivaci v bodě $x_0=12$ $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}(x_0)=5$
a hledáš $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t}(x_0)=?$
funkce je $y=\sqrt{169-x^2}$ takže
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac12(169-x^2)^{-\frac12}\cdot(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{169-x^2}}$
úpravou
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{-x}{\sqrt{169-x^2}}\cdot\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$
a teď už jen dosadit hodnoty v bodě $x_0$

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2012 20:38 — Editoval Ismael (04. 04. 2012 21:27)

Derivace - tak trochu příklad z fyziky

#2 04. 04. 2012 21:28

Re: Derivace - tak trochu příklad z fyziky

#3 04. 04. 2012 21:35 — Editoval Ismael (04. 04. 2012 21:36)

Re: Derivace - tak trochu příklad z fyziky

#4 04. 04. 2012 22:22 — Editoval jardofpr (04. 04. 2012 23:14)

Re: Derivace - tak trochu příklad z fyziky

#5 05. 04. 2012 10:59

Re: Derivace - tak trochu příklad z fyziky

Zápatí