Matematické Fórum

Lucky11 · 19. 10. 2008 20:24

ahojda nepomohl by mi prosim někdo s tímhle příkladem,vubec mi to nejak nejde:( diky za pomoc
Rychlost zmeny teploty telesa je prímo úmerná rozdílu teploty telesa
a prostredí, které jej obklopuje. Uvarili jsme šálek zeleného caje o teplote 80C.Teplota caje klesla v místnosti o teplote 20C za pet minut na 60C. Za jak dlouho klesne teplota caje na 40C?

kaja.marik

$T'=k(T-T_0)$

T(0)=80 --- pocatecni podminka

T(5)=60 --- tohle nam pomuze urcit k

T(?)=40 --- tohle nam pomuze (s uz znamym k) najit cas, na ktery se ptame

T_0=20 --- teplota mistnosti

carka je derivace podle casu, jednotky k volime tak, abychom teplotu mohli dosazovat ve stupnich a cas v minutach.
----------------------------------------
„A to jistě máš něco za lubem, když jdeš s takovou,“ smála se maminka, přitiskla ho k sobě a pohladila po hlavě. „Tak copak bys rád?“ dívala se mu do očí. „Ztratil jsi káču nebo roztrhl bundičku?“
Kájovi bylo tuze hezky u maminky. Skoro si myslil, když ho maminka tak hezky hladí, že je to ještě lepší než bude zejtra komedie, a řekl hlasitě: „Ani káča, maminko, ani bundička, ale v Lážově jsou komedianti. Byli jsme jim naproti.“

Lucky11 · 19. 10. 2008 21:10

jj a dal pokračuju jak?vubec si nevim rady

kaja.marik

↑ Lucky11:
nejdriv vyresim tu rovnici (najdu obecne reseni)

Ucili jste se resit diferencialni rovnice se separovanymi promennymi? Nebo linearni diferencialni rovnice?
Umite vyresit treba rovnici $y'=2y-7$ ?

Lucky11 · 19. 10. 2008 21:12

tu T'=k(T-T0)?

kaja.marik · 19. 10. 2008 21:13

↑ Lucky11:
jojo

Lucky11 · 19. 10. 2008 21:30

jj to mne vyslo nejak T=T0+e^(kt+C)

kaja.marik

↑ Lucky11:
Wow,
$T=T_0+e^{kt+C}$ ...obecne reseni

Pocatecni podminka: $80=T_0+e^{0k+C}$ ... odsud urcite C

Dalsi podminka: $60=T_0+e^{5k+C}$ ... tady C uz znate a urcite k (mimochodem - k bude urcite zaporne)

PS: sikovnejsi na vypocty je zapsat reseni jako $T=T_0+\hat Ce^{kt}$ , ale, muzete klidne zustat i toho sveho.

Lucky11 · 19. 10. 2008 21:44

nejak jsem se zasekla u toho vypocitani C,nejak nevim jak

Lucky11 · 19. 10. 2008 21:56

už vím:)

Lucky11 · 19. 10. 2008 21:59

ale nemuzu to dopočítat

kaja.marik · 19. 10. 2008 22:03

$80=20+e^{C}$

$60=e^{C}$

$C=\ln 60$

$T=20+e^{kt+\ln 60}$

$T=20+e^{kt}e^{\ln 60}$

$T=20+60e^{kt}$
O.K.?

ted vypocitat k

kaja.marik · 19. 10. 2008 22:09

↑ kaja.marik:
numericky mi vychazi k=-0.081093021621632885
a hledane t je 13.547556456757274 minuty

Lucky11 · 19. 10. 2008 22:10

jj a do jake rovnice to teda pak mam dosaditL?

Pavel Brožek

Nebo také

$k=-\frac15\ln\frac32\nl t=\frac{5\ln3}{\ln\frac32}$

Jen bych dodal, že je vhodné volit znaménka na začátku už tak, aby k bylo kladné. Obvykle se to tak ve fyzice dělá - je pak třeba ihned vidět v exponenciele $\mathrm{e}^{-kt}$ , že člen jí násobený s časem vymizí.

Lucky11 · 19. 10. 2008 22:51

jj a do jake rovnice to teda pak mam dosaditL?

Pavel Brožek · 19. 10. 2008 22:55

$T=20+60e^{kt}$

sem dosadíš čas 5 minut a teplotu 60°. Tak zjistíš k. Pak už jen zbývá do

$T=20+60e^{kt}$ (kde už znáš k)

dosadit T=40°C a vyjádřit t.

Lucky11 · 19. 10. 2008 22:59

jj supr...tak moc moc diky:)

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2008 20:24

příklad na diferenciální rovnice

#2 19. 10. 2008 20:51 — Editoval kaja.marik (19. 10. 2008 20:56)

Re: příklad na diferenciální rovnice

#3 19. 10. 2008 21:10

Re: příklad na diferenciální rovnice

#4 19. 10. 2008 21:10 — Editoval kaja.marik (19. 10. 2008 21:20)

Re: příklad na diferenciální rovnice

#5 19. 10. 2008 21:12

Re: příklad na diferenciální rovnice

#6 19. 10. 2008 21:13

Re: příklad na diferenciální rovnice

#7 19. 10. 2008 21:30

Re: příklad na diferenciální rovnice

#8 19. 10. 2008 21:34 — Editoval kaja.marik (19. 10. 2008 21:37)

Re: příklad na diferenciální rovnice

#9 19. 10. 2008 21:44

Re: příklad na diferenciální rovnice

#10 19. 10. 2008 21:56

Re: příklad na diferenciální rovnice

#11 19. 10. 2008 21:59

Re: příklad na diferenciální rovnice

#12 19. 10. 2008 22:03

Re: příklad na diferenciální rovnice

#13 19. 10. 2008 22:09

Re: příklad na diferenciální rovnice

#14 19. 10. 2008 22:10

Re: příklad na diferenciální rovnice

#15 19. 10. 2008 22:13 — Editoval BrozekP (19. 10. 2008 22:15)

Re: příklad na diferenciální rovnice

#16 19. 10. 2008 22:51

Re: příklad na diferenciální rovnice

#17 19. 10. 2008 22:55

Re: příklad na diferenciální rovnice

#18 19. 10. 2008 22:59

Re: příklad na diferenciální rovnice

Zápatí