Matematické Fórum

fellipe · 06. 04. 2012 18:53

Zdravím, mám za úkol vyšetřit průběh funkce se vším všudy, něco jsem spočítal, u něčeho jsem si jist že mám dobře u něčeho už méně...a jelikož matikář je satan, který mi kvůli chyby nedá zápočet, budu rád za kontrolu:)

Zadání: $y=\frac{x^{3}-4}{x}$

1)Definiční obor: D(y)=R-{0}

2)Průsečíky s osami

x: $0=\frac{x^{3}-4}{x}$ $x=\sqrt[3]{4}$
y: $y=\frac{0-4}{0}$ a tady je to neurčitý výraz a nevím co s tím

3)není periodická
4)není sudá, není lichá

5) limity v bodě nespojitosti

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3x^{3}-4}{x}=-\infty$
$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{3x^{3}-4}{x}=\infty$

6)extremy,monotonost

derivace funkce $\frac{\mathrm{3x^{2}*x-x^{3}-4} }{\mathrm{x^{2}} }$

lok. extrem v bodě $x=\sqrt[3]{-2}$

klesající $(-\infty ,\sqrt[3]{-2}\rangle$
rostoucí $(\sqrt[3]{-2},0)\cup (0,\infty )$

7)inf. body, konvexnost,konkávnost

2.derivace= $\frac{6x^{2}*x^{2}-(2x^{3}+4)*x^{2}}{x^{4}}=\frac{2*(3x^{2}-x^{3}-2)}{x^{2}}$

inf. bod $x=1, x=0$

konvexní $(-\infty ,0)\cup \langle1,\infty )$
konkávní $(0,1\rangle$

8) asymptoty

a) bez směrnice $x=0$

b) se směrnicí

a tady si už nejsem vůbec jist jak na to

$k=\lim_{x\to\mp \infty }\frac{x^{3}-4}{x^{2}}$

vyjde to nekonečno/ nekonečnem, když použítu L´Hospitalovo pravidlo tak dojdu k +- nekonečno
když to vydělím největší mocninou dojdu k 1/0

budu rád, když si někdo udělá čas a projde to. Jsme otevřen ke kritice a budu vděčný za opravu a pomoc s asymptotou se směrnicí

$

Hanis · 06. 04. 2012 19:06 — Editoval Hanis (06. 04. 2012 19:08)

Ad 2.)
Průsečík prostě neexistuje.

Ad 6.)

$-\sqrt[3]{2}$ je extrém :-) asi překlep

fellipe · 06. 04. 2012 19:22

dik a v 6. jsem se sekl jak jsem to psal....

a ty asymptoty nevíš?

Hanis · 06. 04. 2012 19:24

Ahoj,
nevím, jsem teprve středoškolák... ale někdo se ti na to kukne.

jelena · 06. 04. 2012 19:43

↑ Hanis:

:-) to se, prosím nepodceňuj.

↑ fellipe: Vzorce jsou zde (zajímavost slovenské verze je, že původní text je od kolegy Lukáše (lukaszh), korekce provedl kolega Jarrro.

Příklady vložení do Wolfram jsou zde. Děkuji všem autorům. Případně na vás kouknu, ale až později.

fellipe · 06. 04. 2012 19:54

Jak vypadá graf jsem věděl z Geogebry, ta mi ale nespočítá nic..díky za odkaz, nicméně bymě aspoň zajímalo jestli k je +- nekonečno nebo 1/0....přeci jen to vše budu mít na zkoušce ....ale jinak odpověď už vím, asymptota není

Takjo · 07. 04. 2012 00:31

↑ fellipe:
Dobrý večer,
tak to zkusme:

$f_{(x)}=\frac{x^{3}-4}{x}$
1) Definiční obor $x\in \mathbb{R} -\{0\}$
2) Průsečíky s osami: $x: x=\sqrt[3]{4}$ ; s osou y neexistuje
3) Funkce není periodická
4) Funkce není sudá ani lichá
5) Limity v bodech nespojitosti: $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{3}-4}{x}=-\infty$
$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^{3}-4}{x}=\infty \Rightarrow$ limita v bodě $x=0$ nespojitosti neexistuje
6) Extrém: $(f_{(x)})'=\frac{3x^{2}*x-(x^{3}-4)}{x^{2}}=\frac{2x^{3}+4}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{-2}$ bod podezřelý z extrému (nutno ověřit!)
$(f_{(x)})''=\frac{6x^{2}*x^{2}-(2x^{3}+4)*2x}{x^{4}}=\frac{6x^{4}-4x^{4}-8x}{x^{4}}=\frac{2x^{3}-8}{x^{3}}$
$(f_{(\sqrt[3]{-2})})''=\frac{2[\sqrt[3]{-2}]^{3}-8}{[\sqrt[3]{-2}]^{3}}=\frac{-4-8}{-2}=6$ funkce má v bodě $x=\sqrt[3]{-2}$ lokální minimum
Intervaly monotonie: $(-\infty ,\sqrt[3]{-2}\rangle$ klesající
$(\sqrt[3]{-2},0)\cup (0,\infty )$ rostoucí
7) Inflexní body: $(f_{(x)})''=\frac{2x^{3}-8}{x^{3}}0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{4}$ bod podezřelý z inflexe (nutno ověřit!)
- konvexita: $(-\infty ,0)\cup \langle\sqrt[3]{4},\infty )$
- konkávita: $(0 ,\sqrt[3]{4}\rangle$
8) Asymptoty:
- bez směrnice: $x=0$
- se směrnicí: $y=kx+q$
$k=\lim_{x\to\infty }\frac{f_{(x)}}{x} \Rightarrow \lim_{x\to\infty }\frac{\frac{x^{3}-4}{x}}{x}=\lim_{x\to\infty }\frac{x^{3}-4}{x^{2}}=\infty$ asymptota neexistuje (je totožná s asymptotou bez směrnice)

A pro doplnění uvádím graf:

fellipe · 07. 04. 2012 22:09

↑ Takjo: děkuji moc, našel jsem si chybu v druhé derivaci a nakonec mi to pěkně vyšlo....na druhou stranu zjišťuji, že tento příklad byl docela lehký, stačilo jen bedlivěji počítat....

teď mám příklad $y=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ , vrhnu se na něj a snad něco spočítám. Kdybych se zasekl, obrátím se zase o pomoc tady:)

jelena · 08. 04. 2012 19:43

↑ fellipe:

také kolegovi ↑ Takjo: děkuji. Pro případ konzultace další funkce založ si, prosím, nové téma (ale až po využití všech kontrolních nástrojů úvodního tématu sekce VŠ). Téma označím za vyřešené.

tom@s21 · 08. 05. 2012 10:03

čau nevím si rady s vlastními asymptotami nevlastni mám ale nevim šiknou kteto funkci lnx/x a ještě si nevím rady jak se uděla ktomu ten graf to jediné nevim.

jelena · 08. 05. 2012 10:19

↑ tom@s21:

přečti si úvodní téma VŠ a při založení nového tématu dbej na interpunkci. Zdravím.

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2012 18:53

Průběh funkce

#2 06. 04. 2012 19:06 — Editoval Hanis (06. 04. 2012 19:08)

Re: Průběh funkce

#3 06. 04. 2012 19:22

Re: Průběh funkce

#4 06. 04. 2012 19:24

Re: Průběh funkce

#5 06. 04. 2012 19:43

Re: Průběh funkce

#6 06. 04. 2012 19:54

Re: Průběh funkce

#7 07. 04. 2012 00:31

Re: Průběh funkce

#8 07. 04. 2012 22:09

Re: Průběh funkce

#9 08. 04. 2012 19:43

Re: Průběh funkce

#10 08. 05. 2012 10:03

Re: Průběh funkce

#11 08. 05. 2012 10:19

Re: Průběh funkce

Zápatí