Matematické Fórum

já hloupá · 07. 04. 2012 14:57

Dobrý den,

prosím o pomoc s příkladem:

$4\sin ^{2}x - \text{tg}^{2}x=1$

rovnici jsem upravila na tvar:

$4\sin ^{2}x - \frac{\sin ^{2}x}{1- \sin ^{2}x}=1$

pak jsem udělala substituci: $\sin ^{2}x= a$

a vyšla mi kvadratická rovnice s kořeny
$x_{1}= - \frac{\sqrt{5}}{2}$
$x_{2}=-\sqrt{5}$

a nevím jak mam z těchto kořenů dopočítat x
je x1 = 120°?

peter_4

Jsi to špatně označila, pokud jsi zavedla substituci "a", tak ti muselo vyjít
a1 a a2 né x1 a x2 :P
Zkrátka jsi si napsala tuto rovnici
$4a - \frac{a}{1- a}=1$

Pod tím písmenkem "a" se skrývá nějaké číslo neznáme. Ty řešíš jaké číslo se pod tím písmenkem "a" může skrývat, aby platila rovnice
$4a - \frac{a}{1- a}=1$
To jsi se dopočítala že jde o
$a_{1}= - \frac{\sqrt{5}}{2}$
$a_{2}=-\sqrt{5}$

Můžeš si to klidně ověřit, tím že do dané rovnice dosadíš ty čísla "a", kterých ses dopočítala. Pro kvadratickou rovnici jich tu budou dvě možné(proto a1 a ještě a2).
$4a - \frac{a}{1- a}=1$
$a_{1}= - \frac{\sqrt{5}}{2}$
$4(- \frac{\sqrt{5}}{2}) - \frac{- \frac{\sqrt{5}}{2}}{1-( - \frac{\sqrt{5}}{2})}=1$

Určitě by ses dopočítala, že opravdu levá strana vyjde "1"

Stejně tak když bys dosadila druhé "a2", stejně tak by ses dopočítala...

Čili pro tuto rovnici už víš, co se pod písmenkem "a" může skrývat za čísla, aby platila daná rovnice.
$4(a) - \frac{(a)}{1- (a)}=1$

Původně ta rovnice vypadala takto:
$4(\sin ^{2}x) - \frac{(\sin ^{2}x)}{1- (\sin ^{2}x)}=1$

Čili víš, že pod $\sin ^{2}x$ se musí skrývat číslo a1 nebo číslo a2, aby platila rovnice.
Tedy $\sin ^{2}x=a1$
Ale taky $\sin ^{2}x=a2$

elypsa · 07. 04. 2012 15:28 — Editoval elypsa (07. 04. 2012 15:33)

Mně teda vyšlo něco jiného..

Po té substituci ti tam vznikne

$4a-\frac{a}{1-a}=1$
$4a-4a^2-a=1-a$
$0=4a^2-4a+1$
$a=\frac{1}{2}$

$sin^2x=\frac{1}{2}$
$sinx=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}$

$x=\frac{\pi }{4}+k\cdot \frac{\pi }{2}$

já hloupá · 07. 04. 2012 15:32

↑ peter_4:

ano to jsem špatně označila (asi ze zvyku), ale to jsem všechno zvládla :D

Jediný co nejsem schopná je právě to dosazení za substituci a vypočítání x1 a x2, protože si pod těmi čísly z kořenů prostě nic nepředstavim (nevim jestli je to 120° nebo x°..)

Hanis · 07. 04. 2012 15:43 — Editoval Hanis (07. 04. 2012 15:43)

↑ elypsa:
Hoj, s a=0,5 souhlasím, ale jak se ti povedlo

$sin^2x=\frac{1}{2}$
$sinx=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}$

?

Jenom malá korekce, už nebudu dál zasahovat :-)

elypsa · 07. 04. 2012 15:46

Jo blbě jsem to napsal :)
samozřejmě

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Díky!:)

Kondr · 11. 04. 2012 11:21

Téma je opět otevřeno pro případ, že by "já hloupá" měla další dotaz. Příspěvek od kohokoli jiného bude smazán.

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2012 14:57

goniometrická rovnice

#2 07. 04. 2012 15:22 — Editoval peter_4 (07. 04. 2012 15:27)

Re: goniometrická rovnice

#3 07. 04. 2012 15:28 — Editoval elypsa (07. 04. 2012 15:33)

Re: goniometrická rovnice

#4 07. 04. 2012 15:32

Re: goniometrická rovnice

#5 07. 04. 2012 15:43 — Editoval Hanis (07. 04. 2012 15:43)

Re: goniometrická rovnice

#6 07. 04. 2012 15:46

Re: goniometrická rovnice

#7 07. 04. 2012 16:28 — Editoval peter_4 (07. 04. 2012 16:40) Příspěvek uživatele peter_4 byl skryt uživatelem zdenek1. Důvod: neprosto nevhodný blábol

#8 07. 04. 2012 16:51 Příspěvek uživatele peter_4 byl skryt uživatelem Hanis. Důvod: flamewars tady netrpíme

#9 11. 04. 2012 11:21

Re: goniometrická rovnice

Zápatí