Matematické Fórum

Petr888 · 07. 04. 2012 20:31

Prosím o pomoc, nevím si rady s tímto druhem příkladu.

V závislosti na reálných paramterech a, b proveďte diskuzi o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a najděte všechna jejich řešení.

$x_{1} + x_{2}+2x_{3} = 0$
$x_{1} + 4x_{2}+5x_{3} = 3$
$-x_{1}+x_{2}+ax_{3} = b$

diskuzi o řešitelnosti jsem spočítal, tak že jsem si Gaussovou eliminační metodou udělal trojúhelníkovou matici a z ní jsem provedl diskuzi:

$a=0 \wedge b=2$ má soustava nekonečně mnoho řešení a lze zvolit 1 proměnnou
$a\not = 0 \wedge b\in R$ má soustava 1 řešení
$a=0 \wedge b\not =2$ soustava nemá řešení

ale na to jak určit řešení jsem nepřišel. Výsledek má být
$a\not = 0 \wedge b\in R$ má soustava 1 řešení $x=\frac{1}{a}(2-a-b, a-b+2, b-2)$
$a=0 \wedge b=2$ má soustava nekonečně mnoho řešení a lze zvolit 1 proměnnou $x = (-1,1,0) +t(-1,-1,1), t\in R$ (na to s tím nekonečně mnoho řešeních jsem přišel, ale přidávám pro úplnost)

mal84 · 07. 04. 2012 22:06

Čau,

celý postup máš v pořádku.
Určit jedno jediné řešení v případě, že hodnost matice soustavy je 3, není těžké.
Stačí si napsat rovnice o proměnných x1, x2 a x3 s takovými koeficienty, který jsi dostal v upravené matici, tj. začít poslední rovnicí a*x3 = (b-2), odtud si vyjádřit proměnnou x3, to stejné udělat postupně se druhou a první rovncí (řádkem matice ve schodovitém tvaru).
A dostaneš vektor řešení, který jsi uvedl.

Petr888 · 07. 04. 2012 22:23

Děkuju...ty parametry jsou vlastně čísla, ne neznámé. Trochu mě zmátl druhý příklad tohoto typu, kde vycházely opravdu složité výsledky, tak jsem si nebyl jistý jestli to počítám správně. Ještě jednou díky.

mal84 · 07. 04. 2012 22:28

Přesně tak, a i b vystupují jenom jako čísla, ne parametry..

A nemáš za co:-)

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2012 20:31

Disuze o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a její řešení

#2 07. 04. 2012 22:06

Re: Disuze o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a její řešení

#3 07. 04. 2012 22:23

Re: Disuze o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a její řešení

#4 07. 04. 2012 22:28

Re: Disuze o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a její řešení

Zápatí