Matematické Fórum

Hanis · 18. 03. 2012 11:18

Ahoj,
tahle úloha je z mé hlavy, napadla mě včera, když jsem koukal na snooker, který se hrál na 4 vítězné framy.
Takže zadání:
a) Mějme dva hráče A,B, kteří hrají hru, která vždy končí výhrou jednoho z nich. Oba hráči jsou stejně dobří, pravděpodobnost jejich výhry je 0,5. Zápas se hraje na 4 vítězné, tj. max. 7 her. Jaká je pravděpodobnost, že zápas skončí po 5. hře? Předpokládáme, že výsledky jednotlivých zápasů jsou nezávislé.
b) Po které hře hra skončí nejpravděpodobněji?
c) Vyřešte obecně, hráči mají pravděpodobnost výhry p_1 a p_2, hraje se na n vítězných, tj. max počet her je 2n-1. Nalezněte, po které hře hra nejpravděpodobněji skončí.

Pokud jsou v zadání nějaké mouchy, tak se ptejte :-)

mal84 · 07. 04. 2012 19:03

Čau,
asi jdu na to úplně špatně, ale v případě otázky a) vzhledem k tomu, že oba dva hráči mají stejnou 50 % pravděpodobnost na každou výhru a výsledky jednotlivých zápasů jsou nezávislé, si myslím, že pravděpodobnost, že zápas skončí po 5. hře bude (0,5)^5 = 0,03125.
I když zase to je hodně malé číslo, nějak se mi to nezdá...

Hanis · 07. 04. 2012 19:46

Ahoj,
to určitě ne, tohle by byla pravděpodobnost, že jeden hráč vyhraje/prohraje 5x za sebou.
Zkus si to s menšími čísly, třeba že se hraje na 2 vítězné...

mal84 · 07. 04. 2012 22:14

Dobře tedy, dejme tomu, že dva hráči hrají na 2 vítězné zápasy a hledáme pravděpodobnost, že se odehrají všechny 3 utkání.
Pravděpodobnost, že vyhraje hráč A je 0,5, hráč B taky 0,5.

Chceme, aby 1. hru vyhrál hráč A, druhou hráč B a třetí např. zase hráč A.
Pak pst, že 1. hru vyhraje hráč A je 0,5, pst že 2. hru vyhraje hráč B je 0,5 a to stejný platí i pro hru třetí.
Pak vzhledem k tomu, že hry jsou na sobě nezávislé, by měl být výslednou pravděpodobností součin 0,5 * 0,5 * 0,5 (uvažuji, že má dojít k nastoupení 3 neslučitelných jevů. a ty dílčí pravděpodonosti by se pak měly sčítat).