Matematické Fórum

k-man · 07. 04. 2012 12:05

Zdravim

poradil by niekto ako dokazat ze
$\sum_{i=1}^{n}i!<n^n$

teda aspon wolfram ukazal ze pre n=10000 je to pravda

vanok · 07. 04. 2012 13:07 — Editoval vanok (07. 04. 2012 13:08)

Ahoj ↑ k-man:,
Zasa davas vysokosloske prispevky do problemov strednej skoly.
Ako vies, na fore treba upresnit co si uz urobil na tomto prispevku... tvoje pokusy, chyby...
A tiez povod tvojho cvicenia, dane v skole? z knihy? akej? ide o olympiadu?

k-man · 07. 04. 2012 13:59 — Editoval k-man (07. 04. 2012 14:12)

ano cvicenie je zo skoly ale nepride mi to ako vs ucivo ked ide o konecny sucet

mozno by nieco slo spravit logaritmovanim ale neviem jak nato

no a este som sa docital tu http://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html

ze $\sum_{i=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1$

tak asi v dokaze pouzijem toto a dokazem $(n+1)!-1<n^n$

ale zrejme by to chcelo dokaz na tu identitu :D

vanok · 07. 04. 2012 23:09 — Editoval vanok (07. 04. 2012 23:11)

Tato klasicka nerovnost ti moze pomoct
$\\ u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n k! \le \frac{(n-2)(n-2)!}{n!}+ \frac{(n-1)!}{n!} + 1$
Ako prvu ju dokaz, a potom skus ju pouzit na tvoj problem.

k-man · 08. 04. 2012 01:22

vdaka a mozes dat nejaky hint ako dokazat tuto nerovnost?

vanok · 08. 04. 2012 13:10 — Editoval vanok (08. 04. 2012 13:11)

↑ k-man:,
myslienka je jednoducha
mame:
$\sum_{k=1}^n k!=\sum_{k=1}^{n-2} k! +(n-1)! +n!$
a vidime okamzite, ze tato suma: $\sum_{k=1}^{n-2} k!$
ma $n-2$ clenov a vsetki mensie ako jej posledny clen $(n-2)!$

k-man · 08. 04. 2012 15:51

tak k $\sum_{k=1}^{n-2} k! \le (n-2)(n-2)!$ som sa dostal ale to dalsie okamzite bohuzial nevidim

vanok · 08. 04. 2012 17:42

↑ k-man:
no dokaz je tejto nerovnosti je v tejto vete, co som pisal vyssie

"ma $n-2$ clenov a vsetki mensie ako jej posledny clen $(n-2)!$ "

tak to skus z formalizovat...

k-man · 08. 04. 2012 18:24

ahaaa uz to vidim na pravej strane mame sucin n-2 clenov (n-2)! a na lavo dokonca len sucet n-2 scitancov a kazdy je mensi nez (n-2)! okrem posledneho, ale nieje mi jasne ako to pouzit na moj povodny problem $\sum_{i=1}^{n}i!<n^n$

vanok · 08. 04. 2012 18:43 — Editoval vanok (08. 04. 2012 18:45)

Staci dokazat pre dostatocne velke n ( poznamka pre n=1, mame rovnost a nie<)
ze $\frac{(n-2)(n-2)!}{n!}+ \frac{(n-1)!}{n!} + 1 < \frac {n^n}{n!}$
Zda sa mi ze to delenie z $n!$ ( povodnej nerovnosti, co treba dokazat )moze zjednodusit dokaz, ale to nie je povinne.
alebo aj $3 < \frac { n^n}{3n!}$ pre $n>2$ a pripad n=1 a n=2 vysetrit priamo na danej nerovnosti

k-man · 08. 04. 2012 19:30 — Editoval k-man (08. 04. 2012 19:30)

takze pre velke n to mozem dokazat tak ze
v $\frac{(n-2)(n-2)!}{n!}+ \frac{(n-1)!}{n!} + 1 < \frac {n^n}{n!}$ nech prava strana je P a lava L

tak spocitam lim L a lim P no a to dava L=1<P=oo co je pravda

ked ma dana nerovnost zaujma iba pre velke hodnoty n

vanok · 08. 04. 2012 19:56

↑ k-man:,
Ano, i ked iste sa to da dokazat presnejsie...
no ale ked ti to staci, tak na co sa trapit.

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2012 12:05

nerovnost

#2 07. 04. 2012 13:07 — Editoval vanok (07. 04. 2012 13:08)

Re: nerovnost

#3 07. 04. 2012 13:59 — Editoval k-man (07. 04. 2012 14:12)

Re: nerovnost

#4 07. 04. 2012 23:09 — Editoval vanok (07. 04. 2012 23:11)

Re: nerovnost

#5 08. 04. 2012 01:22

Re: nerovnost

#6 08. 04. 2012 13:10 — Editoval vanok (08. 04. 2012 13:11)

Re: nerovnost

#7 08. 04. 2012 15:51

Re: nerovnost

#8 08. 04. 2012 17:42

Re: nerovnost

#9 08. 04. 2012 18:24

Re: nerovnost

#10 08. 04. 2012 18:43 — Editoval vanok (08. 04. 2012 18:45)

Re: nerovnost

#11 08. 04. 2012 19:30 — Editoval k-man (08. 04. 2012 19:30)

Re: nerovnost

#12 08. 04. 2012 19:56

Re: nerovnost

Zápatí