Matematické Fórum

fellipe

Dobrý večer, opět mám problém s průběhem funkce. Sotva jsem se naučil počítat s normální rovnicí, profesor mi naložil toto: $y=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ Něco málo jsem určil, budu rád za kontrolu a popřípadě doplnění či vysvětlení jak spočítat body, které mi chybí.

1)Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo
záporná.

Dy=R, nulové body x=0, kladná v $(-\infty ,\infty )$

2. Zjistíme, zda je funkce sudá, lichá nebo periodická

není periodická, ani sudá, ani lichá

3. Určíme intervaly spojitosti a v krajních bodech vyšetříme jednostranné limity.

nemá body nespojistosti

4. Vypočítáme y′, určíme , nulové body Dy′, y′ a intervaly, v nichž je kladná nebo záporná.

y´= $-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$ , Dy´=R, nulový bod x=0, $x\in (-\infty ,0)$ kladná, $x\in (0 ,\infty )$ záporná

5. Určíme intervaly, v nichž je funkce rostoucí nebo klesající.

$x\in (-\infty ,0)$ rostoucí
$x\in (0 ,\infty )$ klesající

6. Stanovíme lokální extrémy funkce.

x=0 lokální maximum

7. Vypočítáme y′′, určíme , nulové body Dy′′,y′′ a intervaly, v nichž je kladná nebo záporná.

y´´= $2*(2x^{2}-1)*e^{-x^{2}}$ , Dy´´=R, nulový bod= x= $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ ,x= $\frac{1}{\sqrt{2}}$

8. Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti a najdeme inflexní body funkce.

9. Určíme asymptoty funkce.

bez směrnice x=0

se směrnici...tipuji že není, $k=\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{x}$ nicméně nevím jak s tím má počítat

Problémem u mě je nejspíše to, že nemám moc ponětí,jak se s e počítá, graf pro e znám, ale profesor hodinám matematiky moc nedá a ve scriptech máme s e jediný příklad.

Budu rád za kontrolu průběhu funkce a uvítám vysvětlení výpočtu u bodů které nevím, či které mám špatně, abych to pochopil a snad i naučil...děkuji moc. PS: jak vypadá graf této funkce vím, vykreslil mi jej studijní prográmek.

jardofpr

ahoj ↑ fellipe:

v bode 1.) máš napísané že nulovým bodom funkcie je $x=0$ trváš na tom?

(má to byť bod kde $y=0$ či nie? )

halogan · 08. 04. 2012 23:13

↑ Takjo:

To je ale naprosto nesprávný postup. Graf je výsledkem, ne zdrojem.

Takjo · 08. 04. 2012 23:17

↑ halogan:
Dobrý večer,
OK, souhlasím, skrývám... :)

fellipe · 08. 04. 2012 23:25

↑ Takjo:

když se podívám do grafu, tak chyby vidím, jen škoda že na případném testu ten graf asi přiložen mít nebudu

v bodě 1. mi chybí průsečíky s osami....z grafu vidím že je y=1(cokoliv na nultou je jedna,předpokládám)
s osou x nevím jak se dopočítat $0=\mathrm{e}^{-x^{2}}$

v bodě 2. jsem se spletl v sudosti f(-x)= $\mathrm{e}^{-(-x^{2})}$ tady byla chyba u mě, že -x jsem automaticky změnil na x,neuvědomil jsme si že je první na druhou.

zajímal by mě výpočet limit....budou se počítat pro $\mp \infty$ ?

fellipe · 08. 04. 2012 23:28

↑ jardofpr:

pokud by x=0 tak y=1....takže zase chyba u mě:( jak tedaa spočíst $0=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ , přiznávám že počty s e mi vůbec nejdou, naneštěstí pro můj obor je matika nepodstatná, ale na vš být musí.....to ovšem neznamená že se ji nesnažím pochopit:)

jardofpr

↑ fellipe:

základná znalosť o funkcii $e^{x}$ je že $e^{x}>0 \,\,,\,\, \forall x \in \mathbb{R}$

funkcia je inverzia k funkcii $\ln(x)$ teda platí $ln(e^{x})=x$ a zároveň $e^{\ln{x}}=x$ pre ľubovoľné reálne $x$

definičným oborom $\ln{x}$ sú len kladné reálne čísla

$e^{x}$ je špeciálnym prípadom funkcie $a^{x}$
$\ln{x}$ je špeciálnym prípadom $\log_{a}{x}$

o exponenciálnych a logaritmických funkciách ste určite počuli na strednej,
takže $e^{x}$ má vo všeobecnosti podobné správanie ako $a^{x}$ pre $a>1$ (veľmi hrubý odhad hodnoty $e$ je číslo $2.71$ )

z toho sa dá prísť na to že rovnica $0=e^{x}$ nemá v reálnych číslach riešenie, teda ani rovnica $0=e^{-x^{2}}$

(lebo v skutočnosti rovnica $0=a^{x}$ kde $a>0$ nemá v reálnych číslach riešenie)

pri určovaní priebehu funkcií môže mať znalosť elementárnych funkcií a ich základných vlastností podstatný význam pri šetrení času

je to aspoň trochu zrozumiteľné?

Takjo · 08. 04. 2012 23:53

↑ fellipe:
Dobrý večer,
exponenciála má obecně obor hodnot větší než 0, takže průsečíky s osou x neexistují.
Nicméně je třeba vypočítat limitu v krajních bodech definičního oboru, tedy v + a - nekonečnu.

fellipe · 09. 04. 2012 19:31

↑ jardofpr:

to co jsi popsal jsem snad pochopil:) děkuji za info....kdyby jsi věděl o nějakých materiálech na internetu pro počty s e, byl bych rád za odkaz..přiznávám,moc mi to nejde:( ale už jen půl roku:D

fellipe · 09. 04. 2012 19:34

linknul by mi sem někdo nějaký odkaz jak počítat limity s e? Vůbec netuším jak vypočítat limity $\lim_{x\to\mp \infty }\mathrm{e}^{-x^{2}}$ jak se počítají limity víc, opět bude chyba v tom, že neumím počítat s e.

Děkuji předem všem

halogan · 09. 04. 2012 19:45

↑ fellipe:

Pomohlo by, kdy místo e tam byla třeba trojka?

jardofpr

↑ halogan:

ako naznačil ↑ halogan: , s e sa počíta tak ako s konštantou,

e je síce číslo s nekonečným desatinným rozvojom, ale stále je to len číslo,
nie je to premenná

v limitách je teda e "pevná záležitosť" , možno sa mýlim ale pochybujem, že
sa nejaký materiál zaoberá špeciálne limitami s e na takejto úrovni obtiažnosti

$\lim_{x\to\mp \infty }\mathrm{e}^{-x^{2}}=\lim_{x \to \pm\infty}(e^{x^{2}})^{-1}=\lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{e^{x^{2}}}$

e je teda kladná konštanta väčšia ako 1
pre ľubovoľnú takú konštantu $K$ platí že $\lim_{x \to \infty } K^{x}=\infty$

vedel by si tú limitu už teraz?

fellipe · 09. 04. 2012 20:17

↑ jardofpr:

už jsem asi nějaký zmatený:) scripta pro dálkové studium moc naučná nejsou, základní typy přílkladu tam sice najdu, ale když narazim na tohle ,tak musím moc přemýšlet....

opět si uvědomuji hloupost mého dotazu.....vycházel jsem že $\mathrm{e}^{\infty }=\infty$ , ale limity mého příkladu měly vyjít 0

chyba byla opět v mé nepozornosti, které mě dovedla k tomu se zeptat, jestli to s e není jinak než s konstantou, konkrétně jsem si opět neuvědomil že tam je na $-x^{2}$ , což mi z jakéhokoliv nekonečna udělá vždy záporné nekonečno, a $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ neni to samé jako $\mathrm{e}^{x^{2}}$ .Jak říkám, má nepozornost, ale děkuji za opravu

fellipe · 09. 04. 2012 21:43

Takže po všech opravách je postup a výsledky u průběhu takový:

$y=\mathrm{e}^{-x^{2}}$

1)Dy=R, nulový bod ani bod nespojitosti není, kladná $(-\infty ,\infty )$

2)neperiodická, sudá

3)limita v krajních bodech $\lim_{x\to\pm \infty }\mathrm{e}^{-x^{2}}=0$

4)y´= $-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$ , nulový bod x=0, rostoucí $(-\infty ,0>$ , klesající $(0,\infty )$

5)lokální extrém v x=0, maximum

6)y´´= $2*(2x^{2}-1)*\mathrm{e}^{-x^{2}}$ , nulové body: $x_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, x_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , konkávní $(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{2}},\infty )$ , konvexní $(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$

7)asymptoty

bez směrnice: neexistuje bod nespojitosti,asymptota neexistuje

se směrnici: $k=\lim_{x\to\pm \infty }\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{x}=0$
$q=\lim_{x\to\pm \infty }(\mathrm{e}^{-x^{2}}-kx)=0$
$y=kx+q=0$

snad to mám vše ok a nebudu to muset již do sešitu přepisovat.

Díky za poslední kontrolu a všem zúčastněným za pomoct do spočítat. Pokud je to OK můžete téma uzavřít:)

jardofpr

↑ fellipe:

možno by som použil oba intervaly otvorené alebo uzavreté v bode 4.) to je ale asi len vec vkusu
EDIT: to čo píše Takjo o príspevok nižšie o konkávnosti a konvexnosti mi v rýchlosti uniklo, má samozrejme pravdu

Takjo · 09. 04. 2012 22:03 — Editoval Takjo (09. 04. 2012 22:06)

↑ fellipe:
Dobrý večer,
snad jen drobnost:
- klesající: $(0,\infty )$ má být $\langle0,\infty )$
- konkávní: $(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ a konvexní: $(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{2}},\infty )$ (máte to opačně)
A nakonec graf:

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2012 22:29 — Editoval fellipe (08. 04. 2012 22:32)

Průběh funkce s e

#2 08. 04. 2012 23:05 — Editoval jardofpr (08. 04. 2012 23:06)

Re: Průběh funkce s e

#3 08. 04. 2012 23:11 Příspěvek uživatele Takjo byl skryt uživatelem Takjo.

#4 08. 04. 2012 23:13

Re: Průběh funkce s e

#5 08. 04. 2012 23:17

Re: Průběh funkce s e

#6 08. 04. 2012 23:25

Re: Průběh funkce s e

#7 08. 04. 2012 23:28

Re: Průběh funkce s e

#8 08. 04. 2012 23:34 — Editoval jardofpr (08. 04. 2012 23:44)

Re: Průběh funkce s e

#9 08. 04. 2012 23:53

Re: Průběh funkce s e

#10 09. 04. 2012 19:31

Re: Průběh funkce s e

#11 09. 04. 2012 19:34

Re: Průběh funkce s e

#12 09. 04. 2012 19:45

Re: Průběh funkce s e

#13 09. 04. 2012 20:06 — Editoval jardofpr (09. 04. 2012 20:22)

Re: Průběh funkce s e

#14 09. 04. 2012 20:17

Re: Průběh funkce s e

#15 09. 04. 2012 21:43

Re: Průběh funkce s e

#16 09. 04. 2012 21:56 — Editoval jardofpr (09. 04. 2012 23:07)

Re: Průběh funkce s e

#17 09. 04. 2012 22:03 — Editoval Takjo (09. 04. 2012 22:06)

Re: Průběh funkce s e

Zápatí