Matematické Fórum

darkmagic · 08. 04. 2012 20:54

Ahoj,
mám tu příklad, kde mám zadanou fci $f(x) = \int_{0}^{x}{\frac{ln(1+t^2)}{t}}dt$ rozvinout do mocninné řady se středem $x_0 = 0$ .

Můžeme mi někdo prosím poradit, jak se toto krok po kroku počítá? Děkuji

Stýv · 08. 04. 2012 22:02

$\ln(1+x)$ bys rozvinout uměl?

darkmagic · 08. 04. 2012 22:34

Ahoj ↑ Stýv:,
zkusil jsem rozvinout to, co jsi psal a vyšlo mi $\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-x)^{k+1}}{k+1}$ .
Je to tak správně (snažil jsem se to udělat podle vizuálně podobného příkladu)?

Stýv · 08. 04. 2012 22:39

↑ darkmagic: myslim, že máš špatně znamínko. nicméně teď by mělo stačit do týhle řady dosadit za $x$ $t^2$ , vydělit $t$ a integrovat člen po členu

darkmagic · 08. 04. 2012 22:53

↑ Stýv:
Kde mám prosím to špatné znaménko? Nevidím to v tom.

Zbytek vypadá jasně, pak to zkusím dopočítat.

Stýv · 08. 04. 2012 23:25

↑ darkmagic: podle kalkulačky vychází $-\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-x)^{k+1}}{k+1}$

darkmagic · 08. 04. 2012 23:54

↑ Stýv:
Tak já sem zkusím napsat můj postup, třeba uvidíš chybu:
$ln(1+x)' = \frac{1}{1+x}= \frac{1}{1-(-x)}$ , z toho tedy pak
$\sum_{k = 0}^{\infty}(-x)^k$ , ještě ingeruju a dostanu $\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-x)^{k+1}}{k+1}$ .

Jěště mě napadá, že když to integruju, tak by tam měla být konstanta, kde ji spočítám?

Stýv · 09. 04. 2012 00:02

při tom integrování vlastně děláš substituci $-x=t$ , tam se objeví to mínus. skutečně by tam měla být ještě konstanta, kterou dopočítáš tak, že dosadíš vhodný číslo za $x$ do původní funkce a do tý řady a porovnáš

darkmagic · 09. 04. 2012 10:42

$\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-x)^{k+1}}{k+1}$ ↑ Stýv:
Jo tak já jen už zase neumím integrovat, takže to mínus už je jasné.

Teď tedy dosadim za $x$ $t^2$ a vydělim $t$ .
Tedy $\frac{-\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-t^2)^{k+1}}{k+1}}{t}$ a teď bych měl integrovat člen po členu.
Bude to integrace součinu, když jmenovatele zlomku přepíšu jako $t^-1$ . Tedy perpartes
$u = t^{-1} u' = - t^{-2}$
$v' = -\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-t^2)^{k+1}}{k+1} v = -\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{t(-t^{2})^{k+1}}{(k+1)(2k+3)}$
To když dám dokupy, tak mi z toho nevyjde nic pěknýho.