Matematické Fórum

michal500

Servus
neviem si rady s týmto príkladom:

$\iint_D{}^{}sin x^2 dx dy D=\{(x,y), 0\le y\le \sqrt{\pi}, y\le x\le \sqrt{\pi }\}$

Predbežne ďakujem

jardofpr

ahoj ↑ michal500:

oblasť $D$ je možné popísať aj ako

$0 \leq x \leq \sqrt{\pi}$
$0 \leq y \leq x$

výpočet týmto smerom je značne jednoduchší, ako je vidieť

$\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{y}^{\sqrt{\pi}}sin x^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\Big(\int_{0}^{x}sin x^2 \mathrm{d}y \Big) \mathrm{d}x$

výpočet vnútorného integrálu vytvorí užitočné x pre substitúciu $x^{2}=t\,,\,x>0$

michal500 · 09. 04. 2012 20:54

Ďakujem ↑ jardofpr:

takže ak sa nemýlim tak takto :
$\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\Big(\int_{0}^{x}sin x^2 \mathrm{d}y \Big) \mathrm{d}x= \int_{0}^{\sqrt{\pi}}x sin x^2 \mathrm{d}x=$
substitúcia:
$t=x^2$ $t_{1}=0, t_{2}=\pi$
$dx=\frac{dt}{x}$

$\int_{0}^{{\pi}} sin t \mathrm{d}t=\big[-cost\big]^{\pi}_{0}=2$

jardofpr

↑ michal500:

toto

$t=x^2$
$dx=\frac{dt}{x}$

je veľmi škaredý a nekorektný zápis, okrem toho diferenciál $\mathrm{d}t$ nie je vyjadrený správne

pri substitúcii treba dbať na úplnú transformáciu premennej v integráli

$\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x sin x^2 \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{\pi}}2x sin x^2 \mathrm{d}x=\left|\begin{array}{rcl}x^{2}&=&t \\ 2x\,\mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\end{array}\right|=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin{t}\,\mathrm{d}t=1$

princíp substitúcie ti je jasný?
vyzerá to že tápaš aj tam

michal500 · 09. 04. 2012 21:24

↑ jardofpr:

jáj, tak je, princíp mi je jasný. Musím zopár príkladov prerátať, aby som sa do toho dostal. Ešte raz ďakujem.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2012 18:55 — Editoval michal500 (09. 04. 2012 19:39)

Integral integral

#2 09. 04. 2012 19:54 — Editoval jardofpr (09. 04. 2012 19:54)

Re: Integral integral

#3 09. 04. 2012 20:54

Re: Integral integral

#4 09. 04. 2012 20:57 — Editoval jardofpr (09. 04. 2012 21:24)

Re: Integral integral

#5 09. 04. 2012 21:24

Re: Integral integral

Zápatí