Matematické Fórum

Joerex · 08. 04. 2012 15:51

Zdravím, mám zadaný tento integrál
$\int_{}^{} (y,z,x)ds^{->}$ kde $x=a \cos \varphi ,y=a\sin \varphi ,z=a\varphi$ z bodu $A=[a,0,0]$ do $B=[a,0,2pi]$
vysledek má být $-\Pi a^2$ ale nemůžu se k tomu dopracovat.

Mohl by mi někdo stručně napsat postup?
Nevím jestli mam dělat parametrizaci ze zadaných x,y,z nebo z bodu A->B, případně jaký jsou meze integrálu?

Díky za pomoc.

jardofpr

↑ Joerex:

toto $x=a \cos \varphi ,y=a\sin \varphi ,z=a\varphi$ a $A=[a,0,0]$ a $B=[a,0,2pi]$ je všetko
tak ako to má byť??

(k zadanému výsledku sa dá dopracovať napr. ak $z=\varphi$ , preto tá otázka)

Joerex · 08. 04. 2012 22:46

Ano, zadání je takové, jaké jsem uvedl.

jardofpr

↑ Joerex:

potom musím vyjadriť pochybnosť o tom, že by uvedený výsledok mal byť správny
iba že by som sa úplne mýlil (čo iste nie je vylúčené)

ono parametrizáciou môže byť vyjadrenie $x,y,z$ také aké uvádzaš, predpokladám že $a$ je nenulová konštanta
potom sa všetky tri súradnice parametrizujú pomocou $\varphi$

$\varphi$ by malo byť z nejakého intervalu $[\alpha,\beta]$

začína sa v bode $A=[a,0,0]$ t.j. $a=a.\cos{\varphi}$

bod $\alpha$ teda musí byť celočíselným násobkom $2\pi$

to by sedelo aj s hodnotami súradnice $y$ bodov $A$ a $B$

z hodnôt súradnice $z$ potom je $\alpha=0$ a $\beta = \frac{2\pi}{a}$

aby mohli byť súradnice bodov také aké sú potom môže byť len $a=1$

lebo $a.\sin{\beta}=0$ a $a.cos{\beta}=a$

Joerex · 08. 04. 2012 23:57

Zítra se na to ještě kouknu, dnes mám již dost.
Dám vědět.

Joerex · 09. 04. 2012 21:13 — Editoval Joerex (09. 04. 2012 21:14)

Tak příklad vyšel.
$\varphi \in (0,2pi)$
derivace parametrizace $(-a sin\varphi ,a\varphi ,acos\varphi )$
$\vec{F}(\Phi (\varphi ))=(asin\varphi ,a\varphi ,acos\varphi )$
soucin: $\vec{u}=(\vec{F}(\Phi (\varphi ))*(\Phi '(\varphi ))=-a^2sin^2\varphi +a^2\varphi cos\varphi +a^2cos\varphi$

Z toho integral od 0 do 2pi a vyjde to.

jardofpr

↑ Joerex:

jasne takto to vyjde,

ale toto nie je krivkový integrál z $A$ do $B$ podľa parametrov a súradníc ako si uviedol/uviedla

keď zvolíš parameter $\phi \in [0,2\pi]$ tak koncový bod je $[a,0,2a\pi]\neq B$ ak $a \neq 1$ ako som písal už vyššie

okrem toho derivácia $\frac{\mathrm{d}z(\varphi)}{\mathrm{d}\varphi}\neq a\varphi$

Joerex · 10. 04. 2012 08:53

Derivace je samozřejmě $a$ , upsal jsem se při přepisování.

Zkusim se zeptat jestli se neupsala se zadáním, jelikož pokud se to neřeší takhle tak nevim.

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2012 15:51

Orientovaný křivkový integrál

#2 08. 04. 2012 20:13 — Editoval jardofpr (08. 04. 2012 20:15)

Re: Orientovaný křivkový integrál

#3 08. 04. 2012 22:46

Re: Orientovaný křivkový integrál

#4 08. 04. 2012 22:49 — Editoval jardofpr (08. 04. 2012 23:02)

Re: Orientovaný křivkový integrál

#5 08. 04. 2012 23:57

Re: Orientovaný křivkový integrál

#6 09. 04. 2012 21:13 — Editoval Joerex (09. 04. 2012 21:14)

Re: Orientovaný křivkový integrál

#7 09. 04. 2012 21:16 — Editoval jardofpr (09. 04. 2012 21:23)

Re: Orientovaný křivkový integrál

#8 10. 04. 2012 08:53

Re: Orientovaný křivkový integrál

Zápatí