Matematické Fórum

ahoj ↑ MadMan:

štvorcová matica je diagonalizovateľná práve vtedy, keď má plnú hodnosť

reálne matice a majú rovnaký hodnosť,
preto ak napríklad štvorcová matica stupňa má hodnosť menšiu ako , má takú hodnosť aj ktorá je rovnakého stupňa,
nebude teda diagonalizovateľná

tvrdenie sa dá teda vyvrátiť:

nech je singulárna, napríklad štvorcová matica

je potom tiež singulárna matica

má platiť rovnosť kde sú regulárne matice, pre ktorých súčin platí .. ako si písal vyššie

máme teda rovnosť regulárnej a singulárnej matice - vyvrátené

↑ MadMan:

Našiel som niekoľko definícií diagonálnej matice a všetky hovoria o matici, ktorá má všetky prvky mimo hlavnej diagonály nulové, a na diagonále len nenulové prvky

Tak ma to aj učili, v mojej niekdajšej učebnici algebry používajú vety o podobnosti matice s diagonálnou maticou presne túto definíciu diagonálnej matice.
Pozri sa ako ju máte definovanú vy.

Čo sa týka hodnosti a , tam stačí vychádzať z predpokladu, že niektorý riadok matice je lineárnou kombináciou ostatných riadkov (lebo pre regulárne matice nie je problém toto ukázať).

Pre potreby vyvrátenia tvrdenia stačí ukázať, že potom minimálne jeden riadok matice je lineárnou kombináciou ostatných v tejto matici, čo sa dá priamo.
Z toho vyplynie singulárnosť matice , nepotrebujeme k úspechu v tomto prípade dokázať rovnosť hodností spomínaných matíc.

↑ MadMan:

tak potom z definície pripúšťate na diagonále aj nuly