Matematické Fórum

lukaszh · 21. 10. 2008 14:20

Zdravím,
ako overi?, že postupnos?
$\left\{$1+\frac{1}{n}$^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$
je rastúca?

Marian · 21. 10. 2008 15:22 — Editoval Marian (21. 10. 2008 15:49)

Označme
$a_n:=\left (1+\frac{1}{n}\right )^n,\qquad n\in\mathbb{N}.$
Platí podle binomické věty
$a_n=(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k}=1+\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots 1}{1\cdot 2\cdots n}\cdot\frac{1}{n^n}=\nl 1+1+\frac{1}{2!}\cdot \left (1-\frac{1}{n}\right )+\cdots +\frac{1}{n!}\cdot\left (1-\frac{1}{n}\right )\left (1-\frac{2}{n}\right )\cdots\left (1-\frac{n-1}{n}\right ).$

Analogicky je
$a_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}\left (1-\frac{1}{n+1}\right )+\cdots +\frac{1}{n!}\left (1-\frac{1}{n+1}\right )\left (1-\frac{2}{n+1}\right )\cdots\left (1-\frac{n-1}{n+1}\right )+\frac{1}{(n+1)!}\left (1-\frac{1}{n+1}\right )\left (1-\frac{2}{n+1}\right )\cdots\left (1-\frac{n}{n+1}\right ).$

Jenže platí jistě
$1-\frac{m}{n}<1-\frac{m}{n+1},\qquad m=1,...,n-1.$

Odtud (pro n>2)
$a_n<1+1+\frac{1}{2!}\cdot \left (1-\frac{1}{n+1}\right )+\cdots +\frac{1}{n!}\cdot\left (1-\frac{1}{n+1}\right )\left (1-\frac{2}{n+1}\right )\cdots\left (1-\frac{n-1}{n+1}\right )<\nl <1+1+\frac{1}{2!}\left (1-\frac{1}{n+1}\right )+\cdots +\frac{1}{n!}\left (1-\frac{1}{n+1}\right )\left (1-\frac{2}{n+1}\right )\cdots\left (1-\frac{n-1}{n+1}\right )+\frac{1}{(n+1)!}\left (1-\frac{1}{n+1}\right )\left (1-\frac{2}{n+1}\right )\cdots\left (1-\frac{n}{n+1}\right )=a_{n+1}$

musixx · 21. 10. 2008 16:40 — Editoval musixx (21. 10. 2008 16:44)

Neslo by to take tak, ze bych uvazil realnou funkci $f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x$ , ktera ma prvni derivaci $f^\prime(x)=\left(\ln\left(1+\frac1x\right)+x\cdot\frac1{1+\frac1x}\cdot\frac{-1}{x^2}\right)\cdot{\rm e}^{x\ln\left(1+\frac1x\right)}$ , ktera by byla nula jen pro $\ln(1+y)=\frac y{1+y}$ , kde $y=\frac1x$ , a takove kladne y neexistuje, tedy funkce je monotonni, proto je posloupnost monotonni a po dosazeni treba prvnich dvou clenu je videt, ze kdyz monotonni, tak rostouci?

Marian · 21. 10. 2008 16:48

↑ musixx:
Přesně tak jsem dělal první důkaz a napsal jej, ale pak jsem si uvědomil, že na některých školách se vyšetřují posloupnosti ještě před zavedením pojmu derivace funkce, takže jsem zvolil elementární přístup.

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2008 14:20

Postupnos? => e

#2 21. 10. 2008 15:22 — Editoval Marian (21. 10. 2008 15:49)

Re: Postupnos? => e

#3 21. 10. 2008 16:40 — Editoval musixx (21. 10. 2008 16:44)

Re: Postupnos? => e

#4 21. 10. 2008 16:48

Re: Postupnos? => e

Zápatí