Matematické Fórum

já hloupá · 10. 04. 2012 20:36

Dobrý den,

nevím si rady s tímto příkladem:
$\sqrt{x - 5} + \sqrt{x+5}=2$

jediné co mě napadlo je toto:
$(x-5)^{\frac{1}{2}} + (x+5)^{\frac{1}{2}} = 2$

Siroga · 10. 04. 2012 20:39 — Editoval Siroga (10. 04. 2012 21:02)

$\sqrt{x - 5} + \sqrt{x+5}=2$ / $^2$ <- to neni 2 ale nadruhou xD

$\sqrt{x - 5} =2- \sqrt{x+5}$ ^2
$x-5=4+x+5-4 \sqrt{x+5}$
$0=14-4 \sqrt{x+5}$ / :(-2)
$7=2 \sqrt{x+5}$ ^2
$49=4(x+5)$
$49=4x+20$
$x=\frac{29}{4}$

nejak nemuzu najit podminku ale z nejakyho duvodu se x nemuze rovnat 29/4 :D

mal84 · 10. 04. 2012 21:43

Umocňování ve druhém kroku není ekvivalentní úprava, na konci výpočtu je tedy NUTNÉ udělat zkoušku řešení.
Po dosazení 29/4 za x do původní rovnice (zadané) je zřejmé, že se levá strana nerovná pravé, tedy $x=\frac{29}{4}$ nemůže být řešením (i když patří do definičního oboru).

Carolina · 10. 04. 2012 21:46

Ahoj,

tak podminky jsou že 1) x - 5 >= 0 a 2) x + 5 >= 0, protože odmocnina muže byt jen z nuly nebo kladnych cisel :)

a jeste by se mela udelat zkouška...

Siroga · 10. 04. 2012 21:56

↑ Carolina: i kdyby sme vynechali reseni v Komplexní rovine tak jsou podminky stejne splneny ale pozkousce to proste nevychazi ...

já hloupá · 10. 04. 2012 22:15

↑ Siroga:

moc se v tom nevyznám.
Rozkládá se to takhle?

$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+5}=2$ / $^{2}$
$(x-5) + 2 \sqrt{x-5} \sqrt{x+5}+(x+5)=4$

a jak potom dál?

elypsa · 10. 04. 2012 22:34 — Editoval elypsa (10. 04. 2012 22:38)

Ahoj, převeď si jednu odmocninu na druhou stranu a až potom umocni.

Carolina · 10. 04. 2012 22:36

taky to nemusí mít řešení :) známe výsledek?

Siroga · 10. 04. 2012 22:41

↑ elypsa:
$(x-5) + 2 \sqrt{x-5} \sqrt{x+5}+(x+5)=4$
$2x+2 \sqrt{x-5} \sqrt{x+5}=4$ /2
$x+\sqrt{(x-5)(x+5)}=2$
$\sqrt{x^2-5^2}=2-x$ / ^2
$x^2-25=4+x^2-4x$
$-25=4-4x$
$-29=-4x$

to zas vychazi stejne ... takze NŘ?

já hloupá · 10. 04. 2012 23:06

↑ Carolina:
↑ Siroga:

výsledek nevím.

elypsa · 10. 04. 2012 23:29

↑ Siroga:
Ahoj!
Můj příspěvek byl reakce na pokus ↑ já hloupá:.

Jinak podmínky nejsou všechno. Vždy je třeba při neekvivalentních úpravách ověřovat zkouškou. Taky jsem měl dlouho za to, že je třeba provést podmínku nebo zkoušku.

zdenek1 · 11. 04. 2012 00:25

↑ Siroga:

i kdyby sme vynechali reseni v Komplexní rovine tak jsou podminky stejne splneny ale pozkousce to proste nevychazi ...

podmínky nejsou splněny ani náhodou. Vy totiž na jednu podmínku zapomínáte.
$\sqrt{x - 5} =2- \sqrt{x+5}$
Jakmile uděláte tuto úpravu, máte na levé straně nezáporné číslo, a to proto musí být i na pravé straně, takže dostáváte další podmínku
$2-\sqrt{x+5}\ge0$
$2\ge\sqrt{x+5}$
$4\ge x+5$
$x\le-1$
Takže: $(x\ge5)\wedge (x\le-1)\Rightarrow x\in\emptyset$

Siroga · 11. 04. 2012 07:08

↑ zdenek1: mne ta podmínka napadla až ráno a v trochu jiným provedení ... v podstatě se rovnice nemusela řešit vůbec, jelikož podmínky která nám zkázi řešení jsou viditelný ze zadání, x musí být víc než 5, ale když je 5 tak už samotného druhej člen je víc než 2.

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2012 20:36

rovnice s odmocninou

#2 10. 04. 2012 20:39 — Editoval Siroga (10. 04. 2012 21:02)

Re: rovnice s odmocninou

#3 10. 04. 2012 21:43

Re: rovnice s odmocninou

#4 10. 04. 2012 21:46

Re: rovnice s odmocninou

#5 10. 04. 2012 21:56

Re: rovnice s odmocninou

#6 10. 04. 2012 22:15

Re: rovnice s odmocninou

#7 10. 04. 2012 22:34 — Editoval elypsa (10. 04. 2012 22:38)

Re: rovnice s odmocninou

#8 10. 04. 2012 22:36

Re: rovnice s odmocninou

#9 10. 04. 2012 22:41

Re: rovnice s odmocninou

#10 10. 04. 2012 23:06

Re: rovnice s odmocninou

#11 10. 04. 2012 23:29

Re: rovnice s odmocninou

#12 11. 04. 2012 00:25

Re: rovnice s odmocninou

#13 11. 04. 2012 07:08

Re: rovnice s odmocninou

Zápatí