Matematické Fórum

Vlad-777

zdravim

mam vypocitat objem rotacneho telesa, ktory vznikne rotaciou grafu funkcie y=1/x okolo osi x v intervale
$\langle1;\infty \rangle$

chapem ze zakladom je vypocitat integral tej funkcie, ale akosi mi nejde do hlavy to, ze je to divergentne, ved sa to blizi k nule nie? http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … %2C+1..inf
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx
$\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x}dx$

Takjo · 10. 04. 2012 17:05

↑ Vlad-777:
Dobrý den,
ano, jde o nevlastní integrál vlivem horní meze, proto je nutno použít příslušnou metodu řešení.

jardofpr

ahoj ↑ Vlad-777:

áno, je pravda, že $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$ , to ale nie je postačujúca podmienka k tomu, aby bol nevlastný integrál konečný ..
táto funkcia "ide k nule" príliš pomaly, preto obsah plochy pod jej grafom nie je ohraničený na danom intervale

dá sa na to pozrieť z pohľadu nekonečného súčtu:

pod grafom funkcie môžme napríklad urobiť obdĺžniky so stranami dĺžky $1$ a $f(n)$ pre každé prirodzené $n>1$

budeme mať

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x \geq \sum_{n=2}^{\infty} 1.\frac{1}{n}=-1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

súčet radu napravo nie je konečné číslo

Takjo · 10. 04. 2012 17:37

↑ Vlad-777:
Dobrý den,
je třeba použít tento postup:
$\pi \cdot \int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{c\to\infty }\pi \cdot \int_{1}^{c}x^{-2}dx=\pi \cdot \lim_{c\to\infty }[-\frac{1}{x}]_{1}^{c}$ atd. :)

Vlad-777

dakujem, neuvedomil som si ze funkciu treba umocnit a az potom ratat integral, teraz to uz vychadza a vysledok je 3,14*1

Takjo · 10. 04. 2012 20:47

↑ Vlad-777:
Dobrý den,
OK, ale výsledek je $\pi$ a ne 3,14 :)

Vlad-777 · 10. 04. 2012 20:50

no hej teda :D ...len ja mam vzdy rad konkretne cisla a nie nejake premenne hehe ...diky

Takjo · 10. 04. 2012 22:28

↑ Vlad-777:
Dobrý večer,

$\pi$ není proměnná hehe ... není zač :)

Vlad-777 · 10. 04. 2012 22:42

...resp. konstanta :)

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2012 16:28 — Editoval Vlad-777 (10. 04. 2012 16:32)

objem rotacneho telesa

#2 10. 04. 2012 17:05

Re: objem rotacneho telesa

#3 10. 04. 2012 17:11 — Editoval jardofpr (10. 04. 2012 17:26)

Re: objem rotacneho telesa

#4 10. 04. 2012 17:37

Re: objem rotacneho telesa

#5 10. 04. 2012 19:31 — Editoval Vlad-777 (10. 04. 2012 19:32)

Re: objem rotacneho telesa

#6 10. 04. 2012 20:47

Re: objem rotacneho telesa

#7 10. 04. 2012 20:50

Re: objem rotacneho telesa

#8 10. 04. 2012 22:28

Re: objem rotacneho telesa

#9 10. 04. 2012 22:42

Re: objem rotacneho telesa

Zápatí