Matematické Fórum

cyrano52 · 10. 04. 2012 14:43

Dobrý den, mám problém s příklady na rovinu v anal. geometrii, tak bych Vás poprosil o výpočet a postup. Díky, možná stačí jen nakopnout :)

Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která je určena bodem
A = [ 2 ; -3 ; 1 ] a přímkou p : x = 1 - t y = 2 + t, z = 3 - 2t, t patří R.

Rumburak · 10. 04. 2012 15:38

↑ cyrano52:
Zdravím.
K určení roviny $\rho$ je potřeba znát jeden její bod $P$ a dva nenulové vektory $\vec{u}, \vec{v}$ , které jsou spolu různoběžné, avšak každý z nich
je rovnoběžný s uvažovanou rovinou.

Nechť $X$ je obecný bod prostoru. Položme si otázku: Za jakých podmínek bude platit

(1) $X\in \rho$ ?

Odpověď: Výrok (1) bude splněn tehdy a jen tehdy, budou-li existivat reálná čísla $t, s$ taková, že

(2) $X - P = t\vec{u}+s\vec{v}$ .

(Nakresli si obrázek a pochopíš, co tato podmínka znamená.) Rovnici (2) přepsanou ro tvaru

$X = P + t\vec{u}+s\vec{v} , t, s \in \mathbb{R}$

nazýváme parametrickou rovnicí roviny ve vektorovém tvaru. Můžeme ji pak rozepsat na tři rovnice po jednotlivých souřadnicích.

cyrano52 · 10. 04. 2012 16:04

To je na mě moc velká matematika, potřeboval bych spíše vysvětlit konkrétně ten příklad. Na nějaké definice jsem já nikdy nebyl. Díky :)

Rumburak · 10. 04. 2012 16:19

Je to zajímavé. Spousta lidí odmítá pochopit jednoduchý princip a místo toho je ochotna drtit se nazpaměť mnohem složitější "kuchařské recepty".
Vysvětlil jsem princip parametrické rovnice roviny. Když ho pochopíš, což není těžké, nebudeš se muset na toto téma už nikdy nikoho dotazovat.
Co je tam nejasného ?

Bohužel budu moci pokračovat až zítra, třeba se tématu mezi tím ujme někdo jiný.

cyrano52

No hlavně ten 2. výrok.

cyrano52 · 10. 04. 2012 16:35

A jak se dají odečítat body? To se normálně odečte příslušná souřadnice?

pietro · 10. 04. 2012 20:22

↑ cyrano52:

A jak se dají odečítat body? To se normálně odečte příslušná souřadnice?

presne tak...

pietro · 10. 04. 2012 20:25

Obrázok k parametrickému tvaru aj tu

http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid … df/114.pdf

pietro · 10. 04. 2012 20:36

Čiže potrebuješ nájsť jeden bod a dva vektory ktoré tam ležia v rovine, to je všetko.

bod "centrálny" máš zadaný, to je A, a dva body si najdeš na priamke p tak, že pre jeden zvolíš napr parameter t= 1
x = 1 - t y = 2 + t, z = 3 - 2t,
===>dostaneš bod B, a pre napr. t= 2 ===> bod C, potom vektor u = B-A a vektor v= C-A.

A hotová je rovina parametricky.

Rumburak

↑ cyrano52:

Pokračování příspěvku ↑ Rumburak: k objasnění výroku

(2) $X - P = t\vec{u}+s\vec{v}$ .

tamtéž.

Kresli si:

Bodem $P$ veďme přímku $a$ rovnoběžnou s vektorem $\vec{u}$ a přímku $b$ rovnoběžnou s vektorem $\vec{v}$ , takže přímky $a,\, b$ budou různoběžkami
ležícími v rovině $\rho$ , které se protínají v bodě $P$ . V rovině $\rho$ je jimi určena soustava souřadnic (obecně kosoúhlá) fungující následovně:

je-li dán libovolný bod $X \in \rho$ , můžeme sestrojit

- bodem $X$ procházející přímku $b_X$ rovnoběžnou s přímkou $b$ , takže $b_X$ protne $a$ v bodě $A$ ,
- bodem $X$ procházející přímku $a_X$ rovnoběžnou s přímkou $a$ , takže $a_X$ protne $b$ v bodě $B$ .

V případě, že bod $X$ neleží na žádné z přímek $a,\, b$ , potom obrazec $PAXB$ je rovnoběžník s úhlopříčkou $PX$ , takže podle
geomerického významu součtu vektorů je

(3) $\vec{PX} = \vec{PA} + \vec{PB}$ , tj. $X-P = \vec{PA} + \vec{PB}$

(protože obecně $\vec{PX} = X-P$ ). Snadno nahlédneme, že vztah (3) platí i tehdy, když bod $X$ leží na některé z přímek $a,\, b$ .

Dále: vektor $\vec{PA}$ je rovnoběžný s přímkou $a$ a tedy i s jejím směrovým vektorem $\vec{u}$ , tudíž

(4) $\vec{PA}= t\vec{u}$

pro vhodné $t \in \mathbb{R}$ , obdobně vektor $\vec{PB}$ je rovnoběžný s přímkou $b$ a tedy i s jejím směrovým vektorem $\vec{v}$ , tudíž

(5) $\vec{PB}= s\vec{v}$

pro vhodné $s \in \mathbb{R}$ . Dosazením (4), (5) do (3) obdržíme (2).

Ukázali jsme, že pro libovolné $X \in \rho$ existují reálná čísla $t, s$ tak, že platí (2) .
Funguje to i opačným směrem: platí-li (2), potom $X \in \rho$ . Zdůvodnění by se Ti už mohlo podařit.

cyrano52 · 11. 04. 2012 15:09

No, protože vektor PX je výslednicí, tedy součtem vektorů u a v, a tedy bod X musí náležet do té roviny.

cyrano52 · 11. 04. 2012 15:22

↑ pietro:
Ale vždyť já potřebuju dva různoběžné vektory, takto v podstatě získám vektory rovnoběžné s přímkou p ne?

cyrano52 · 11. 04. 2012 15:28

Výsledek je takovýto:

x=2-t-2s
y=-3+5t+6s
z=1+2t

Rumburak · 11. 04. 2012 15:47

↑ cyrano52:

Správně ! :-)

↑ cyrano52:

V roli bodu $P$ z předchozích mých obecně pojatých příspěvků můžeme použít ten zadaný bod $A = [ 2 ; -3 ; 1 ]$ (bod, jímž rovina má procházet).
V roli nenulového vektoru $\vec{u}$ rovnoběžného s rovinou můžeme vzít vektor $(-1, 1, -2)$ (směrový vektor přímky $p$ , která má v rovině ležet).
Potřebujeme ještě druhý nenulový vektor $\vec{v}$ , který bude různoběžný s $(-1, 1, -2)$ (tedy vlastně různoběžný s přímkou $p$ ) a při tom
rovnoběžný s rovinou. Pokud je úloha korektně zadána a přímka $p$ neprochází bodem $A$ (nekontroloval jsem), potom stačí vzít libovolný
bod $B\in p$ , například $B = [1, 2, 3]$ , a položit $\vec{v} = \vec{AB} = B-A$ . Formální sestavení parametrické rovnice roviny už pak jistě
nebude problém.

cyrano52 · 11. 04. 2012 15:59

Ale vždyť jsi napsal, že bod P (tedy vlastně A) je průsečíkem přímek a,b , přičemž jednou z těch přímek je také přímka "p", no a bod A neleží na přímce p, takže ani nemůže být průsečíkem, průsečíkem bude nově vzniklý bod B, takže vektor $\vec{v}$ se vypočte $A-B$ ne? Moc tomu teď nerozumím :(

Rumburak · 11. 04. 2012 16:01

↑ cyrano52:

Máš to dobře (možností je více, jak j zřejmé).

Rumburak

↑ cyrano52:

Tam jsem chtěl co nejjednodušeji vysvětlit princip parametrické rovnice roviny, totiž jak ji sestavit pomocí některého jejího bodu P
a dvou různoběžných vektorů rovnoběžných s rovinou.

V mém řešení jsem za bod P vzal A , přímku p jsem ale přímo nijak nepoužil (krom jejího směrového vektoru) . V roli přímek a, b z prvního výkladu
by byly přímky o par. rovnicích

X = A + t u , X = A + s v ,

kde u, v jsou ony vektory, jak jsem ve svém konkretním řešení uvedl. Jedna z nich je s přímkou p rovnoběžná - ta, co s ní má společný směrový vektor.

Za bod P jsme klidně mohli vzít místo bodu A kterýkoliv jiný bod roviny, například kterýkoliv bod přímky p a vektory u, v jsme také mohli vzít jiné -
při splnění podmínky, že budou vzájemně různoběžné a při tom rovnoběžné s rovinou.

Paramatrické vyjádření téže roviny se dá relisovat nekonečně mnoha rovnocennými způsoby.

cyrano52 · 11. 04. 2012 16:34

Aha, tak teď už to snad chápu dokonale :) Jak ale zjistím, že je můj výsledek správný?

Rumburak · 11. 04. 2012 16:39

↑ cyrano52:
Třeba tak, že ověříš, zda v ní leží bod A a alespoň dva různé body přímky p (půjde o řešitelnost soustav jistých rovnic s neznámými t, s).

cyrano52

Takže pomocí hodností matic? :D

cyrano52 · 11. 04. 2012 16:50

A jak potom vypočítat tu obecnou rovnici? Normálový vektor zjistit neumím, zbavit se parametrů taky ne, protože jsou tam dva, takže? :)

Rumburak

↑ cyrano52:
Normálový vektor $\vec{n}$ bude kolmý k výše uvedeným $\vec{u}, \vec{v}$ (a nenulový) . Je-li $P$ některý bod té roviny, její obecná rovnice
ve vektorovém tvaru bude $\vec{n}(X-P) = 0$ . (Rovnice vlastně neříká nic jiného, než že vektor $\vec{n}$ je kolmý k libovolnému
směru rovnoběžnému s rovinou a že v ní leží bod P.) Rozepsáním skal. součinu a úpravou dostaneme obvyklý tvar

ax + by + cy + d = 0 .

cyrano52 · 14. 04. 2012 18:06

↑ Rumburak:

Díky za obšírné vysvětlení, teď už to chápu :)

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2012 14:43

Rovina v analytické geometrii

#2 10. 04. 2012 15:38

Re: Rovina v analytické geometrii

#3 10. 04. 2012 16:04

Re: Rovina v analytické geometrii

#4 10. 04. 2012 16:19

Re: Rovina v analytické geometrii

#5 10. 04. 2012 16:21 — Editoval cyrano52 (10. 04. 2012 16:22)

Re: Rovina v analytické geometrii

#6 10. 04. 2012 16:35

Re: Rovina v analytické geometrii

#7 10. 04. 2012 20:22

Re: Rovina v analytické geometrii

#8 10. 04. 2012 20:25

Re: Rovina v analytické geometrii

#9 10. 04. 2012 20:36

Re: Rovina v analytické geometrii

#10 11. 04. 2012 10:18 — Editoval Rumburak (11. 04. 2012 11:07)

Re: Rovina v analytické geometrii

#11 11. 04. 2012 15:09

Re: Rovina v analytické geometrii

#12 11. 04. 2012 15:22

Re: Rovina v analytické geometrii

#13 11. 04. 2012 15:28

Re: Rovina v analytické geometrii

#14 11. 04. 2012 15:47

Re: Rovina v analytické geometrii

#15 11. 04. 2012 15:59

Re: Rovina v analytické geometrii

#16 11. 04. 2012 16:01

Re: Rovina v analytické geometrii

#17 11. 04. 2012 16:23 — Editoval Rumburak (11. 04. 2012 16:33)

Re: Rovina v analytické geometrii

#18 11. 04. 2012 16:34

Re: Rovina v analytické geometrii

#19 11. 04. 2012 16:39

Re: Rovina v analytické geometrii

#20 11. 04. 2012 16:41 — Editoval cyrano52 (11. 04. 2012 16:44)

Re: Rovina v analytické geometrii

#21 11. 04. 2012 16:50

Re: Rovina v analytické geometrii

#22 11. 04. 2012 17:14 — Editoval Rumburak (11. 04. 2012 17:17)

Re: Rovina v analytické geometrii

#23 14. 04. 2012 18:06

Re: Rovina v analytické geometrii

Zápatí