Matematické Fórum

Ahoj,

musíš vycházet z definice omezenosti a konvergence (ty jste si určitě v matice říkali), ulehčíš si tím následný důkaz, kde nemusíš jet přes indukci, ale jenom se odvoláš na obě definice a jenom je dáš do souvislosti. Jen si nejsem jistá, jak moc jste se na škole věnovali kvantifikátorům a jak moc se v nich budeš orientovat.

Důkaz:
Posloupnost je omezená .....  se blíží k x
Potom pro každé n>m.    ( leží v intervalu, který tvoří okolí bodu, ke kterému se posloupnost blíží).
Pro každé takové n pak platí, že , a je-li tedy nějaké číslo největší z čísel , platí  pro každé n (k je potom limitou dané posloupnosti, takže jsme se dostali až ke konvergenci).

Tak snad se v tom vyznáš :o)

J.

↑ jarrro: No, tak mi dokaž, že každá omezená funkce má supremum i infimum, což je věc, která mě taky zajímá.

Podle mě, jak bych dokázal jednu z těchto vět(Buď limitu, nebo supremum a infimum), důkaz té druhé už by byl jednoduchý nebo by z toho dokonce přímo vyplýval. Prostě obecně můj problém je, že když si představím obecně omezenou funkci, tak prostě nejsem schopný sestrojit důkaz, že má supremum i infimum. A stejně tak, když si představím obecně monotónní funkci(nebo posloupnost), která je omezená, tak neumím sestrojit důkaz, že má limitu.

↑ zozinka88: Ahoj. U toho důkazu nerozumím tady té poslední větě: "je-li tedy nějaké číslo největší z čísel , platí  pro každé n (k je potom limitou dané posloupnosti, takže jsme se dostali až ke konvergenci)." Jinak mám pocit, že z existence limity vycházíš, jak už říkal Rumburak.

↑ pepa999:

Zajímavý. Okamžitě ti řeknu že platí, že: Každá (neprázdná) omezená podmnožina R má suprámum i infimum. Omezená posloupnost se pak dá považovat za speciální případ takové množiny. Ale důkaz tohohle tvrzení mě popravdě zrovna nenapadá (I když jeho pravdivost jsem si ověřil). Tak možná doplním později.

↑ pepa999:
Ahoj. 

Jak píše kolega ↑ Wotton:, důkaz tvrzení, že každá neprázdná shora omezená podmnožina M množiny reálných čísel má supremum, souvisí s konstrukcí
reálných čísel.  Dedekindova teorie, která tento úkol řeší, sice nespadá do středošk. matetematiky, ale její metody  jsou velmi názorné a není k nim potřeba
žádných speciálních znalostí, které by byly středoškolákovi zajímajícímu se o matematiku nesrozumitelné. Proto se pokusím zde hlavní myšlenky Dedekindovy
teorie (pro zjednodušení v poněkud modifikované podobě) nastínit.

Mějme množinu všech racionálních čísel (tedy zlomků , kde   jsou celá čísla , ).  Na množině jsou známým způsobem zavedeny
jednak elementární algebraické operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení), jednak uspořádání ( ostré, resp. odpovídající neostré).

Množinu nazveme řezem v (krátce: řezem), má-li následující vlastnosti:

(1)         pro libovolná platí implikace  ,

(2)                        množina nemá (svůj) nejmenší prvek.

Příklady řezů :

                             -  tento řez označíme ,
                            (prázdná množina) -  tento řez označíme ,
                            ,
                            .

Že množina má vlastnost odpovídající podmínce (1) , je zřejmé. Že má i vlastnost odpovídající podmínce (2), plyne z faktu, že rovnice
nemá racionální kořeny.
Snadno nahlédneme, že množina   není řezem , protože , takže není splněna
podmínka odpovídající podmínce (2).

Řezy , nazveme nevlastními řezy, o ostatních řezech hovoříme jako o vlastních řezech.
Vlastní řezy tvaru     , kde , nazveme racionálními řezy, ostatní vlastní řezy (tj. takové vlastní řezy, které nemají
největší prvek), nazveme iracionálními řezy (což je například výše uvedená množina ).

Reálnými čísly nazveme vlastní řezy v množině . Množinu všech reálných čísel značíme .
Zobecněnými reálnými čísly nazveme všechny řezy v množině (tedy včetně nevlastních). 
Reálná čísla členíme na racionální a iracionální podle toho, zda jde o racionální nebo iracionální řezy. 

V množině  definujeme uspořádání: je-li , potom . Snadno ověříme, že platí zákon trichotomie.
Definice algebraických operací s reálnými čísly nepodávám, protože je k větě o supremu nepotřebujeme.


VĚTA O SUPREMU: Nechť  je neprázdná  shora omezená.  Potom existuje právě jedno číslo  takové, že: 

(I)     pro každé je , 
(II)   je-li takové, že pro každé je ,  potom .


NÁSTIN DŮKAZU.  Každý prvek je nějakým řezem v množině , tj. podmnožinou v , a alespoň jedno takové   existuje,
ježto . Vzhledem k tomu, že množina je shora omezená, existuje vlastní řez takový, že pro každé je .
Položme

                                                      .

(Do tedy zařadíme právě každé takové racionální číslo , k němuž existuje takové, že .)

EDIT 1:  Předpis pro množinu S bude asi nutno mírně obměnit - ještě se nad tím zamyslím.

EDIT 2:  Ke konstrukci suprema množiny ještě jeden krok chybí. Množina má vlastnost (1) z definice řezu (dokáže se snadno), ale není jasné,
zda má i vlastnost (2) z téže definice. My však potřebujeme sestrojit množinu, které JE řezem, tj. která má i vlastnost (2) . Proto položme

a)    ,  pokud množina nemá nejmenší prvek,
 
resp.

b)    ,  pokud  je nejmenší prvek množiny .

Další akce provádíme s množinou , tedy:

Je potřeba ukázat, že množina je vlastním řezem a že platí

(I*)     pro každé je , 
(II*)   je-li takové, že pro každé je ,  potom .


a skutečnost, že množina s vlatnostmi (I*), (II*) může existovat nejvýše jedna.  Podrobnosti přenechávám k vlastnímu rozmyšlení. :-)

Sestrojené reálné číslo se nazývá supremum množiny .

V příspěvku ↑ Rumburak: jsem ještě provedl důležité doplnění.