Matematické Fórum

fluki · 11. 04. 2012 19:40

prosím vás může mi někdo poradit jak z tohoto vypočtu pro jake r má lokální minimum tato zderivovana rovnice? $\frac{2 \pi ^2r^6-9V^2}{r^2*\sqrt{\pi ^2r^6+9V^2}}$
d2kuju

Takjo · 11. 04. 2012 20:05

↑ fluki:
Dobrý večer,
zkusme se vrátit k vašemu včerejšímu problému s kornoutem zmrzliny, a dořešme to prosím tam.
Předpokládám, že je to tentýž příklad.

fluki · 11. 04. 2012 20:12

zdravím ano to je ono , to co jste mi poslal tak jsem zderivovala podle r a vyšlo mi toto nebo zderivovala pomohli mi s tím :-) ale vážně nevím jak mám vypočítat lokální minimum atd. :-(

Takjo · 11. 04. 2012 20:19

↑ fluki:
Dobrý večer,
zderivováno je správně.
Stacionární bod (bod podezřelý z extrému) zjistíte tak, že položíte první derivaci rovnu nule a vypočtete r:
$\frac{2 \pi ^2r^6-9V^2}{r^2*\sqrt{\pi ^2r^6+9V^2}}=0$ ... :)

fluki · 11. 04. 2012 20:42

musím nejprve odstranit odmocninu ze jmenovatele? nebo normálně obě strany mohu vynásobit jmenovatelem ?? :-O vycházeji mi nějake nesmysly :-(

Takjo · 11. 04. 2012 20:49

↑ fluki:
Dobrý večer,
zlomek je roven nule jestliže čitatel je roven nule a zároveň jmenovatel se nerovná nule.
V našem případě se jmenovatel nikdy nebude rovnat nule, protože poloměr bude reálné číslo a objem též (nejen reálné ale i kladné).
Takže řešte jenom čitatel...

fluki · 11. 04. 2012 20:55

:-) vyšlo mi $r=\sqrt[6]{\frac{9V^2}{2\pi ^2}}$ tak ted nevím co dále s tím nebo toto je lokální minimum jako?? už? :-)

Takjo · 11. 04. 2012 21:22

↑ fluki:
výborně, to je správný výsledek.
Teď nám vyšlo, že funkce má lokální extrém v bodě $r=\sqrt[6]{\frac{9V^2}{2\pi ^2}}$ .
Dále bychom měli dokázat, že jde o lokální minimum, což se dělá tak, že:
je-li $y^{''}_{(x_{0})}>0 \Rightarrow$ lokální minimum
je-li $y^{''}_{(x_{0})}<0 \Rightarrow$ lokální maximum (kde $x_{0}$ je ten stacionární bod).
Obávám se však, že druhá derivace bude poměrně složitá, tak snad zítra... :)

fluki · 11. 04. 2012 21:31

Děkuju :-) určitě budu ráda za vaší zítřejší pomoc. zkusím ještě tu druhou derivaci vypočíst :-) :-)

fluki · 11. 04. 2012 22:29

http://mdg.vsb.cz/wiki/public/ZM_MNPAZP … tralni.pdf prosím vás tady je nějaky podobný příklad tomu mému, došli jsme až do toho že jsme udělali derivaci funkce a nerozumim te tabulce co tam má :-O mužete prosím na to mrknout?jak bych to měla napsat já do te tabulky? a dále tam má ostatní výpočty a to bude asi to jak jsme vypočetli to r a to dosadim do v=3V/pi*r^2 ne?

user · 11. 04. 2012 22:38

Jen doplnim, ze u spojitych funkci neni vzdy prilis stastne overovat maximum/minimum pomoci vyssich derivaci. Staci se podivat na funkcni hodnoty v okoli jednotlivych podezrelych bodu. protoze treba u funkce $(x-1)^{100}$ bychom museli resit 100 derivaci, pro overeni bodu 1. Nehlede na to, ze dalsi derivace byvaji velmi komplikovane resitelne.

Takjo · 11. 04. 2012 23:21

↑ fluki:
Dobrý večer,
takže:
$(\frac{2 \pi ^2r^6-9V^2}{r^2*\sqrt{\pi ^2r^6+9V^2}})'=$
$=\frac{12\pi ^{2}r^{5}\cdot r^{2}\sqrt{\pi ^{2}r^{6}+9V^{2}}-\{(2\pi ^{2}r^{6}-9V^{2})\cdot [2r\sqrt{\pi ^{2}r^{6}+9V^{2}}+\frac{r^{2}6\pi ^{2}r^{5}}{2\sqrt{\pi ^{2}r^{6}+9V^{2}}}]\}}{r^{4}(\pi ^{2}r^{6}+9V^{2})}$

Tak a teď už zbývá jenom drobnost - dosadit do druhé derivace všude za r: $r=\sqrt[6]{\frac{9V^2}{2\pi ^2}}$ což by byla docela pakárna.
Zkusme na to jít logicky:

- výraz $r=\sqrt[6]{\frac{9V^2}{2\pi ^2}}$ je určitě kladný, neboť objem V je kladný a odmocnina je sudá

- výraz ve jmenovateli druhé derivace ${r^{4}(\pi ^{2}r^{6}+9V^{2})}$ je také kladný, neboť jde o součet kladných čísel

- obdobně jsou kladné i ostatní výrazy v čitateli, s výjimkou $(2\pi ^{2}r^{6}-9V^{2})$ kde je rozdíl dvou kladných čísel,
proto stacionární bod dosadíme pouze do tohoto výrazu, čímž dostaneme: $(2\pi ^{2}r^{6}-9V^{2}) \Rightarrow 2\pi ^{2}\cdot \frac{9V^{2}}{2\pi ^{2}}-9V^{2}=0$
čímž je celý výraz ve složené závorce roven 0.

Tímto jednoduchým výpočtem a úvahou jsme zjistili, že druhá derivace funkce je ve stacionárním bodě kladná,
a tím jsme dokázali, že funkce $S=\frac{\sqrt{\pi ^{2}r^{6}+9V^{2}}}{r}$ má v bodě $r=\sqrt[6]{\frac{9V^2}{2\pi ^2}}$ lokální minimum.

Zbývá jen dosadit za r do $v=\frac{3V}{\pi r^{2}}$ a zjistit výšku kužele.

Takjo · 11. 04. 2012 23:30

↑ user:
Dobrý večer,
souhlasím s vámi, nicméně v tomto příkladu nebyly zadány žádné konkrétní hodnoty, takže stacionární bod vyšel obecně $r=\sqrt[6]{\frac{9V^2}{2\pi ^2}}$
a z toho se nedá vyčíst znaménko první derivace. :)

fluki · 12. 04. 2012 08:40

takže dosadím jen do rovnice pro v to r a to je vše? :) ovšm nejsem si jistá tím když bych měla vypočítat konkrétní příklady mám dáno pouze Objem ne? když poloměr a výšku mám vypočítat :-/

fluki · 12. 04. 2012 08:44

aha objem když bych měla zadaný mohu dosadit do toho r co jsme vypočetli že? a je to :-)a pak dostanu vlastně i v :-) a je to taky. no každopádně moc děkuji za velkou pomoc :-) Jde vidět že existují ještě ochotní lidé pomoct ostatním :-)

Takjo · 12. 04. 2012 09:27

↑ fluki:
Dobrý den,
ano, je to přesně tak, jak říkáte, objem V je volitelný a dosazením do vzorců vypočtete poloměr r a výšku v.
Přeji hezký den... :)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2012 19:40

lokální minimum

#2 11. 04. 2012 20:05

Re: lokální minimum

#3 11. 04. 2012 20:12

Re: lokální minimum

#4 11. 04. 2012 20:19

Re: lokální minimum

#5 11. 04. 2012 20:42

Re: lokální minimum

#6 11. 04. 2012 20:49

Re: lokální minimum

#7 11. 04. 2012 20:55

Re: lokální minimum

#8 11. 04. 2012 21:22

Re: lokální minimum

#9 11. 04. 2012 21:31

Re: lokální minimum

#10 11. 04. 2012 22:29

Re: lokální minimum

#11 11. 04. 2012 22:38

Re: lokální minimum

#12 11. 04. 2012 23:21

Re: lokální minimum

#13 11. 04. 2012 23:30

Re: lokální minimum

#14 12. 04. 2012 08:40

Re: lokální minimum

#15 12. 04. 2012 08:44

Re: lokální minimum

#16 12. 04. 2012 09:27

Re: lokální minimum

Zápatí