Matematické Fórum

gigo · 11. 04. 2012 17:39

zdravím mám matici A lin. zobrazení $f: Z^3_5 \rightarrow Z^3_5$ vzhledem k bázím B a B. Mám určit vlastní čísla f. A dále příslušné vlastní vektory vůči kanonické bázi.
B={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}
A=4 0 2
4 1 1
2 0 4

dostal jsem $-\lambda^3+\lambda^2-12\lambda+12=0$
což řeší $\lambda=1$
po vydělení lambda-1 dostanu $-\lambda^2-12=0$
tedy $\lambda^2=3$
a tady nevím co dělat, abych i s plus minus odmocninou zůstal v tělese Z_5

jardofpr · 11. 04. 2012 22:58

ahoj ↑ gigo:

$\lambda^{2}=3$ nemá v danom telese riešenie, druhé mocniny nenulových prvkov v ňom sú rovné $1$ alebo $4$ ..
vlastné čísla matice by mali byť $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1\,,\,\lambda_{3}=2$

z char.polynómu $ch_{A}(\lambda)=(\lambda+4)^{2}(\lambda+3)$

gigo · 11. 04. 2012 23:27

↑ jardofpr:
děkuji a prosimtě jak se to teda řeší tedy jak získat ty další vlastní čísla?

jinak vlastní vektor pro jedničku mi vychází např 1,0,1
3 0 2
4 0 1
2 0 3

a pro vlastní číslo 2 získávám vlastní vektor např 2,1,3
2 0 2
4 4 1
2 0 2

a neměl bych vyrobit ještě jeden vlastní vektor díky dvojnásobnosti jedničky?

jardofpr

↑ gigo:

no hej, pre dvojnásobnú vlastnú hodnotu by mali byť 2 lin.nezávislé vlastné vektory

no, asi bol zle vypočítaný charakteristický polynóm, chyba bude niekde tam, pri jeho výpočte

gigo · 12. 04. 2012 00:06

↑ jardofpr:
jo máš pravdu už jsem našel chybu
nyní je $4\lambda^3+4\lambda^2+2=0$ z čehož v tomto tělese vyjde dvojnásobná jednička a jednou dvojka jako vlastní čísla.

a ten druhý pro jedničku to dám třeba 1,1,1?
a jinak to mám předtím dobře?

jardofpr · 12. 04. 2012 00:10

↑ gigo:

ty hľadáś pravé vlastné vektory alebo ľavé k tej matici?

gigo · 12. 04. 2012 00:11

↑ jardofpr:
to je myšleno jak?

jardofpr

↑ gigo:

no či riešiš rovnicu
$v.A=\lambda v$ kde $v=(v_{1},v_{2},v_{3})$ (1)
alebo
$A.v=\lambda v$ kde $v=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}$ (2)
?

ale podľa vektorov čo si našiel predtým asi riešiš (2)

gigo · 12. 04. 2012 00:24 — Editoval gigo (12. 04. 2012 00:25)

↑ jardofpr:
tak já do matice
4-lambda 0 2
4 1-lambda 1
2 0 4-lambda

dosadím za lambda konkrétní číslo tedy 1

dostanu
3 0 2
4 0 1
2 0 3

tady tu matici násobím
v1
v2
v3

a chci dostat
0
0
0

takže si udělám soustavu lin. rovnic
a vidím že např 1 0 1 to řeší

a nebo v tom mám zmatek a takto se to nedělá?

tedy bych řekl že dělám A u=lambda u

jardofpr

↑ gigo:

robi sa to tak, nechcel som ťa zmiasť, len som chcel vedieť ktorý z tých systémov riešiš
staćilo povedať že (2) ;-)

no (1,1,1) je nezavisly s (1,0,1) tak by to malo fungovat,
mali by byt nezavisle oba aj s tretim vektorom (2,1,3),
takze by malo ostavat uz len vyjadrit vektory v kanonickej baze

tak ma napadá, že by mal byť vlastný vektor akýkoľvek násobok toho vektora takže ak máme správne riešenia,
vlastnými vektormi prislúchajúcimi k vlastnej hodnote 1 by mali byť všetky z množiny
$\{(t,0,t)^{T}+(s,s,s)^{T}\,;\,t,s \in \mathbb{Z}_{5}\}$

pre vlastnú hodnotu 2 potom všetky z množiny $\{(2t,t,3t)\,;\,t\in\mathbb{Z}_{5}\}$

gigo · 12. 04. 2012 00:45

↑ jardofpr:
a vyjádření vektoru vzhledem ke kanonické bázi bude stejné nebo ne?

jo dobrý nápad

jardofpr · 12. 04. 2012 00:55

↑ gigo:

stejné ako čo myslíš?

gigo · 12. 04. 2012 01:06

↑ jardofpr:
stejné jako mám tady ty
počítá se to takto ne?
že zjištuji neznáme x1 x2 x3
kanonicka baza je 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1
mám vektor 1 0 1
1= 1 x1 + 0 x2 + 0 x3
0= 0 x1 + 1 x2 + 0 x3
1= 0 x1+ 0 x2 + 1 x3

apod s dalšími vektory

jardofpr

↑ gigo:

vektor (1,0,1) má tieto súradnice pri báze $B$

to by malo znamenať že $\alpha_{1} (1,1,1)+\alpha_{2}(1,1,0)+\alpha_{3}(1,0,0)=(1,0,1)$

to je sústava troch rovníc o troch neznámych, z nej sa dajú nájsť "alfy"

$(1,1,1)=1.(1,0,0)+1.(0,1,0)+1.(0,0,1)$ -> takto sa dajú napísať všetky tri bázové vektory

z toho bude $(1,0,1)=(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3})(1,0,0)+(\alpha_{1}+\alpha_{2})(0,1,0)+\alpha_{3}(0,0,1)$ (3)

to je tiež systém troch rovníc o troch neznámych, je na tebe či to budeš počítať takto rovno,
alebo postupne
(toto ešte zopakovať pre ďalšie vlastné vektory, treba to potom tiež zapísať parametricky ako je to vyššie pomocou parametrov $t$ a $s$ a vektor pre vl.hod.2 pomocou $t$ )

súradnice vzhľadom na kanonickú bázu sú potom koeficienty pred prvkami kanonickej bázy (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) v rovnici (3)

myslím že výpočet by mohlo uľahčiť nájdenie matice prechodu od bázy $B$ ku kanonickej (alebo jej inverzie)
ale uz je dost neskoro a nie som schopny teraz ti poskytnut doveryhodny navod :)

gigo · 12. 04. 2012 12:52 — Editoval gigo (12. 04. 2012 13:43)

↑ jardofpr:
dobře takže vyjde pro vektor 1 0 1
alfa1=1
alfa2=4
alfa3=1
v tělese Z_5

pro vektor 1 1 1
alfa1=1
alfa2=0
alfa3=0

pro vektor 2 1 3
alfa1=3
alfa2=3
alfa3=1

a v té rovnici (3) má být na konci 0 0 1 to máš jen překlep

jardofpr · 14. 04. 2012 04:24

↑ gigo:

no jo, vďaka, hlavne že sme sa pochopili :)

gigo · 14. 04. 2012 10:39

↑ jardofpr:
v pohodě dík =)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2012 17:39

vlastní čísla

#2 11. 04. 2012 22:58

Re: vlastní čísla

#3 11. 04. 2012 23:27

Re: vlastní čísla

#4 11. 04. 2012 23:43 — Editoval jardofpr (11. 04. 2012 23:44)

Re: vlastní čísla

#5 12. 04. 2012 00:06

Re: vlastní čísla

#6 12. 04. 2012 00:10

Re: vlastní čísla

#7 12. 04. 2012 00:11

Re: vlastní čísla

#8 12. 04. 2012 00:16 — Editoval jardofpr (12. 04. 2012 00:16)

Re: vlastní čísla

#9 12. 04. 2012 00:24 — Editoval gigo (12. 04. 2012 00:25)

Re: vlastní čísla

#10 12. 04. 2012 00:27 — Editoval jardofpr (12. 04. 2012 00:39)

Re: vlastní čísla

#11 12. 04. 2012 00:45

Re: vlastní čísla

#12 12. 04. 2012 00:55

Re: vlastní čísla

#13 12. 04. 2012 01:06

Re: vlastní čísla

#14 12. 04. 2012 01:21 — Editoval jardofpr (14. 04. 2012 04:23)

Re: vlastní čísla

#15 12. 04. 2012 12:52 — Editoval gigo (12. 04. 2012 13:43)

Re: vlastní čísla

#16 14. 04. 2012 04:24

Re: vlastní čísla

#17 14. 04. 2012 10:39

Re: vlastní čísla

Zápatí