Matematické Fórum

slos · 12. 04. 2012 23:01

Zdravím,

vysvětlil by mi někdo prosím u funkce $f\left( x\right) =\ln \left( 1-e^{x}\right)$ proč je výsledkem $D(f) = (-\infty;0)$ ?

Začnu s $1-e^{x}>0$ , protože logaritmus musí být větší než nula, z toho dostanu $1>e^{x}$ , ale dále už nevím, jak to objasnit a dokončit nerovnici.

Děkuji za vysvětlení

elypsa · 12. 04. 2012 23:07 — Editoval elypsa (12. 04. 2012 23:08)

Zdravím!

$1=e^0$
$e^0>e^{x}$ ; e>1 proto neměním znaménka nerovnosti a mohu porovnávat exoponenty
0>x

Andrejka3

↑ slos:
Ahoj.
Funkce $e^x$ zobrazuje interval $(-\infty, \infty)$ na $(0,\infty)$ a je na svém definičním oboru rostoucí.
Dále je $e^0=1$ . Odtud a z předchozího plyne, že $e^x$ zobrazuje interval $(-\infty,0)$ na interval $(0,1)$ .
edit: a také z toho plyne, že $e^x$ zobrazuje interval $\langle 0,\infty)$ na $\langle 1, \infty)$

slos · 12. 04. 2012 23:11

Děkuji za pomoc. Vyřešeno.

Andrejka3 · 13. 04. 2012 00:10

Poznámka (snad ne matoucí)
Jen jsem ještě chtěla doplnit, že běžnější úvaha při řešení nerovnic jako $1>e^{x}$ je spíše využití monotonie inverzní fce, konkrétně: $e^x$ je rostoucí na svém def. oboru, proto i její inverzní, $\ln \:x$ je rostoucí na svém def. oboru. Zapůsobím-li na čísla splňující nerovnost $1>e^{x}$ fcí $\ln$ , bude stejná relace platit i pro obrazy (a naopak pokud na novou nerovnici zapůsobím exponenciálou, dostanu zpět původní nerovnici - je to tedy ekvivalentní úprava):
$\ln \:1 > \ln \:(e^x)$ , upraveno na
$0 > x$ .
Kdybych působila na obě strany nerovnice fcí klesající, platila by pro obrazy opačná relace (přehozený symbol >)

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2012 23:01

Definiční obor log. funkce

#2 12. 04. 2012 23:07 — Editoval elypsa (12. 04. 2012 23:08)

Re: Definiční obor log. funkce

#3 12. 04. 2012 23:08 — Editoval Andrejka3 (12. 04. 2012 23:11)

Re: Definiční obor log. funkce

#4 12. 04. 2012 23:11

Re: Definiční obor log. funkce

#5 13. 04. 2012 00:10

Re: Definiční obor log. funkce

Zápatí