Matematické Fórum

Siroga · 13. 04. 2012 07:58

Zdravím, včera někdo dával tuto úlohu do sekce základní škola a mne zajímá jestli to má 1 nebo 2 řešení , zadání: strana čtverce je o 1m kratší než jeho uhlopricka, jaká je strana čtverce? Jedno řešení se nabízí samo, $1+\sqrt 2$ , ale řekl bych že další řešení by mohlo být $|1-\sqrt 2 |$ , pak se ale docela blbě dokazuje že úhlopříčka je o 1m delší když je její velikost $2-\sqrt 2$

Andrejka3

$2-\sqrt 2 -(\sqrt 2 -1)=3-2 \sqrt 2=1 -(2(\sqrt2 -1)) \neq 1$
To, že to má právě jedno řešení nepřekvapí, když si uvědomíme, že hledáme řešení jedné lineární rovnice:
$a \sqrt 2 - a = 1$ .
edit: ↑ Siroga: :D

Siroga · 13. 04. 2012 09:43 — Editoval Siroga (13. 04. 2012 09:59)

↑ Andrejka3:

Tak dosadit můj výsledek to lineární rovnice sem nezkousel :D

Tak ještě jinak, kde je v tyhle rovnici podmínka diki které neplatí řešení $a_{2}$ nějak to nevidím...

$(a+1)^2=a^2+a^2$
$a^2+2a+1=2a^2$
$0=a^2-2a-1$
$D=8$
$a_{1}=1+\sqrt2$
$a_{2}=1-\sqrt2$

jarrro · 13. 04. 2012 10:18

↑ Siroga:ako môže mať strana zápornú dĺžku?

Siroga · 13. 04. 2012 11:57

↑ jarrro: proto delku strany píšu jako absolutní hodnotu.
Takže jedno řešení je $a_{1}=1+\sqrt2$ , $u_{1}=2+\sqrt2$ a druhý $a_{2} =|1-\sqrt 2 |$ , $u_{2} =|2-\sqrt 2 |$ , v absolutních hodnotách je pam i $u_{2}$ o 1m delší než $a_{2}$ otázka je jestli se to dá dat i do absolutní hodnoty, přecejen $|1-\sqrt 2 | +1$ se nerovná $|2-\sqrt 2 |$ .

Andrejka3 · 13. 04. 2012 12:09

↑ Siroga:
$a_{2} =|1-\sqrt 2 |$ není řešením rovnice $(a+1)^2=a^2+a^2$ .

Siroga · 13. 04. 2012 12:16 — Editoval Siroga (13. 04. 2012 12:52)

↑ Andrejka3: to je pravda ale absolutní hodnota je tam jen proto že značí velikost úsečky. Právě proto pak taky není $|2-\sqrt 2 |$ o 1 víc než $|1-\sqrt 2 |$ .

Případně kdyby se počítala z rovnice úhlopříčka a ne strana tak výsledek je $u_{1},_{2}=2 \pm \sqrt 2$ a tam už platí i $u_{1},_{2}= | 2 \pm \sqrt 2 |$

Pagrossman

↑ Siroga:
Zdravím všechny,

jelikož řeším úplně stejný příklad, tak nechci vytvářet duplikace a zeptám se zde... Jestli je půj postup správný...

Zadání je totožné...
Počítal jsem to akorát trošičku obráceně...

$(a-1)^2+(a-1)^2=a^2$
$(a^2-2a+1)+(a^2-2a+1)=a^2$
$a^2-4a+2=0$

$D=b^2-4ac$
$D=8$ - myslel jsem si celou dobu, že to počítám špatně, ale 8 mi souhlasilo s vaším výsledkem, tak jsem slavil :D

$x_{1}_{2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{4}\sqrt{2}}{2}$

Výsledek pokrátím dvěmi a vyjde $2\pm\sqrt{2}$ , čili $2+\sqrt{2}$ a $2-\sqrt{2}$

Co je tedy správně? Oba jsou kladné...
Ale 2 výsledky být nemohou :)

Děkuji mnohokrát za odpověď...

jelena · 14. 06. 2012 18:25

↑ Pagrossman:

Zdravím,

počítal jsi délku uhlopříčky a jsou zde 2 výsledky jako řešení rovnice. Pokud ovšem pokračuješ ve výpočtu délky strany, potom od délky uhlopříčky máš odečíst 1.

Výsledek $(2-\sqrt{2})-1$ nedává kladnou hodnotu délky strany, což se shoduje s předchozí debatou kolegů.

Stačí tak? Děkuji.

Pagrossman · 14. 06. 2012 20:10

↑ jelena:
Super, chápu :)
Budu příště postupovat druhým způsobem pro výpočet strany rovnou...

Děkuji...

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2012 07:58

strana ctverce

#2 13. 04. 2012 09:36 — Editoval Andrejka3 (13. 04. 2012 09:54)

Re: strana ctverce

#3 13. 04. 2012 09:43 — Editoval Siroga (13. 04. 2012 09:59)

Re: strana ctverce

#4 13. 04. 2012 10:18

Re: strana ctverce

#5 13. 04. 2012 11:57

Re: strana ctverce

#6 13. 04. 2012 12:09

Re: strana ctverce

#7 13. 04. 2012 12:16 — Editoval Siroga (13. 04. 2012 12:52)

Re: strana ctverce

#8 14. 06. 2012 17:07 — Editoval Pagrossman (14. 06. 2012 17:10)

Re: strana ctverce

#9 14. 06. 2012 18:25

Re: strana ctverce

#10 14. 06. 2012 20:10

Re: strana ctverce

Zápatí