Matematické Fórum

Andrejka3 · 13. 04. 2012 14:38

Dobrý den,
pro libovolné $n \in \mathbb{N}$ platí: $\mathbb{Z}_n=\langle a \rangle \iff \text{GCD}(a,n)=1$ ((grupy))
Užitím tohoto tvrzení dokažte, že grupa $\mathbb{Z}_n$ obsahujue právě $\varphi(k)$ prvků řádu k pro každé $k \mid n$ .
Nenapadá mě, jak napasovat to tvrzení do důkazu.
Mám například tento důkaz:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Kdyby vás něco napadlo, prosím napište.

OiBobik

↑ Andrejka3:

Ahoj,

napadlo mě toto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ta úloha je mimochodem celkem cool důkaz známého vztahu $\sum_{d\mid n, d>0}\varphi(d)=n$ .

Andrejka3 · 13. 04. 2012 21:17

↑ OiBobik:
Ahoj, ano, vede to též i k důkazu toho známého vztahu $\sum_{d\mid n, d>0}\varphi(d)=n$ :) se kterým jsem se seznámila teprve včera. Je to krásný vztah.
Díky za odpověď, až to přelouskám, ještě napíšu, nebo udělám edit této zprávy.

Andrejka3

↑ OiBobik:
Díky, parádní důkaz.
Taky se mi líbí Tvůj důkaz toho, že podgrupa konečné cyklické grupy je cyklická grupa. Vidím, že jde udělat i nekonečnou verzi, a jsem zvědavá, jak se liší důkaz přes Burnside lemma, který si momentálně nepamatuji.
Ještě jednou díky :)

OiBobik

↑ Andrejka3:

Ten důkaz "podgrupa cyklické grupy je cyklická" jsem tam nepsal (to, co následuje po konstatování, že podgrupa cyklické je cyklická, je důkaz, že každá cyklická grupa má nejvýše jednu podgupu řádu k - omlouvám se za matení), ale je to vlastně dost podobné (udělá se to přes Bézoutovu větu, resp. Eukleidův algoritmus - je-li dána grupa $\langle g \rangle$ a $H$ je její podgrupa, uvážím $m=\min\{k\in \mathbb{N}|g^k \in H, k>0\}$ a ukážu, že $H=\langle g^m \rangle$ , vše psáno v multiplikativním zápisu).