Matematické Fórum

HellBoyCz

Dobrý den, sekl jsem se při řešení průběhu funkce v bodě 5 a 6 zatím. :(

1. Určíme definiční obor a provedeme diskusi spojitosti funkce.
2. Zjistíme symetrie funkce: lichost, sudost, periodicita.
3. Dopočítáme limity v „krajních bodech definičního oboru“.
4. Spočteme první derivaci,
5. určíme intervaly
6. monotonie a nalezneme lokální extrémy.
7. Spočteme druhou derivaci
8. určíme intervaly
9. určíme kde funkce f je konvexní nebo konkávní. Určíme inflexní body.
10. Určíme asymptoty funkce.
11. Načrtneme graf funkce.

$f(x) = \frac{2x+3}{(x+1)^2}$

1.Určíme definiční obor

D(f) = R\{ -1}

2.Spojitost

Funkce je spojitá ve všech bodech $x\in D(f)$ , fce není spojitá v bodě $X_{0}=-1$

3.Sudost, lichost nebo periodičnost

Periodická – není

Sudá nebo lichá:

$f\left( -x\right) =\dfrac {-2x+3} {\left( -x+1\right) ^{2}} = \dfrac {-1\left( 2x-3\right) } {(-1)^2\left( x-1\right) ^{2}} = -1\dfrac {\left( 2x-3\right) } {\left( x-1\right) ^{2}} \neq f\left( x\right) \wedge \neq -f\left( x\right)$ opraveno (-1)^2

$D\left( f\right) =\left( -\infty ,-1)\cup ( -1,\infty \right)$ oprava závorek ), (

Funkce není ani sudá ani lichá

4.První derivace $f^{'}\left( x\right)$

$f '\left( x\right) =\left( \dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}}\right) '=\dfrac {2\left( x+1\right) ^{2}-\left( \left( 2x+3\right) 2\left( x+1\right) 1\right) } {\left( x+1\right) ^{4}} =$
$=\dfrac {2\left( X^{2}+2x+1\right) -\left( \left( 2x+3\right) \left( 2x+2\right) \right) } {\left( x+1\right) ^{4}}=\dfrac {2x^{2}+4x+2-4x^{2}-10x-6} {\left( x+1\right) ^{4}}=\dfrac {-2x^{2}-6x-4} {\left( x+1\right) ^{4}}$

D(f ') = D(f) = R\{ -1}

5.Určení intervalu, na nichž je funkce f’ kladná nebo záporná

Určím si 0 body s f’=0

$-2x^{2}-6x-4=0$
$x_{1,2}=\dfrac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}= \dfrac {6\pm \sqrt {36-32}} {-4}= \dfrac {6\pm 2} {-4}\Rightarrow x_{1}=-1,x_{2}=-2$

Rozdělení 0 bodů na intervaly.

$\left( -\infty ,-2\right) \left( -2,-1\right) \left( -1,\infty \right)$ s tímhle si nejsem jistý

Určíme znaménko $\dfrac {-2x^{2}-6x-4} {\left( x+1\right) ^{4}}$

$f '\left( -3\right) =\dfrac {-18+18-4} {1}=-4$

$f '\left( -\dfrac{3} {2}\right) =\dfrac {-3+9-4} {( -\dfrac{1} {2})^{4}}=32$

$f '\left( 0\right) =\dfrac {-0+0-4} {1}=-4$

6. monotonie a nalezneme lokální extrémy.

Lokální minimum jev -4 a lokální maximum v 32

znaménka:

-,+,-

7. Spočteme druhou derivaci

$f ''\left( x\right) =\left( \dfrac {\left( -2x^{2}-6x-4\right) } {\left( x+1\right) ^{4}}\right)'' = \dfrac {\left( -4x-6\right) \left( x+1\right) ^{4}-\left( \left( -2x^{2}-6x-4\right) \left( x+1\right) ^{3}4x\right) } {\left( x-1\right) ^{6}}=$

$=\dfrac {\left( x+1\right) ^{3}\left[ \left( \left( -4x-6\right) \left( x+1\right)) -\left( 4x(2x^{2}-6x-4\right) \right) \right] } {\left( x-1\right) ^{6}}=$

$-\dfrac {4x^{2}-4x-6x-6-\left( -8x^{3}-24x^{2}-16x\right) } {\left( x-1\right) ^{3}}=\dfrac {8x^{3}+20x^{2}+6x-6} {\left( x-1\right) ^{3}}$

D(f '') = D(f ') = D(f) = R\{ -1}

Snad je 2 derivace ok, jak získám intervaly, nenapadá mě žádná úprava :(

Děkují

marnes · 11. 04. 2012 21:22

$x_{1,2}=\dfrac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}} {4ac}=$ je špatně

$x_{1,2}=\dfrac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}=$ je dobře

marnes · 11. 04. 2012 21:24

↑ HellBoyCz:

Druhý problém $f '\left( 0\right) =\dfrac {-0+0-4} {1}=0$ je špatně
$f '\left( 0\right) =\dfrac {-0+0-4} {1}=-4$ je dobře

HellBoyCz · 11. 04. 2012 21:36

marnes napsal(a):
↑ HellBoyCz:

Druhý problém $f '\left( 0\right) =\dfrac {-0+0-4} {1}=0$ je špatně
$f '\left( 0\right) =\dfrac {-0+0-4} {1}=-4$ je dobře

už vidím, seknu se na základních počtech :(

marnes · 11. 04. 2012 21:42

↑ HellBoyCz:
Já mám ale ve vzorci ve jmenovateli 2a! Ty 4a. Navíc číslo a=-2!

marnes · 11. 04. 2012 22:13

↑ HellBoyCz:

$\left( -\infty ,-2\right) \left( -2,-1\right) \left( -1,\infty \right)$ dobře

v prvním intervalu mínus - tedy klesá
V druhém intervalu plus - tedy roste
v třetím intervalu mínus, tedy klesá

pro x=-2 předpoklad lokálního minima
x=-1 bod nespojitosti

marnes · 11. 04. 2012 23:18

↑ HellBoyCz:

Lokální minimum jev -4 a lokální maximu v 32

a to jsi vzal kde?

Ta druhá derivace se mi nějak nelíbím. Jmenovatel má být na druhou, tudíž celkem na osmou a ani derivace jmenovatele není dobře. Osobně bych nejdříve rozložil čitatele na součin a pokrátil se jmenovatelem a pak teprve derivoval

marnes · 12. 04. 2012 08:44

$=\dfrac {-2x^{2}-6x-4} {\left( x+1\right) ^{4}}=\frac{-(x+2)(x+1)}{(x+1)^{4}}=\frac{-(x+2)}{(x+1)^{3}}$

derivace $\frac{-1(x+1)^{3}+(x+2).3.(x+1)^{2}}{(x+1)^{3}}=...$

HellBoyCz

↑ marnes:

tak tahle úprava mě nenapadla úplně to ulehčí derivaci a výsledek.

jmenovatel by měl byt ještě na 2, pák bude $(x+1)^6$

marnes · 12. 04. 2012 09:33

↑ HellBoyCz:
Ano, máš pravdu

HellBoyCz

Jelikož nemohu editovat první příspěvek pokračují zde:

6. monotonie a nalezneme lokální extrémy.

dosadíme do fce $f(x) = \frac{2x+3}{(x+1)^2}$ $x_{2}=-2$

$f(-2) = \frac{-4+3}{(-2+1)^2}=-1$

v bodě $x_{2}=-2$ má fce lokální minimum

7. Spočteme druhou derivaci a D(f '')

$f ''\left( x\right) =\left( \dfrac {-\left( x+2\right) } {\left( x+1\right) ^{3}}\right) ''=\dfrac {-1\left( x+1\right) ^{3}+\left( 3\left( x+2\right) \left( x+1\right) ^{2}\right) } {\left( x+1\right) ^{6} }=$

$=\dfrac {\left( x+1\right) ^{2}\left( -x-1+3x+6\right) } {\left( x+1\right) ^{6}}=\dfrac {-x-1+3x+6} {\left( x+1\right) ^{4}}=\dfrac {2x+5} {\left( x+1\right)^{4} }$

D(f '') = D(f ') = D(f) = R\{ -1}

Snad už je ta druhá derivace ok :)

8. určíme intervaly, položím f '' = 0

$f''\left( x\right) =0$

$2x+5=0\Rightarrow x=-\dfrac {5} {2}$

$\left( -\infty ,-\dfrac {5} {2}\right) \left( -\dfrac {5} {2},-1\right) \left( -1,\infty \right)$

$f^{''}\left( -3\right) =\dfrac {-6+5} {\left( -2\right) ^{4}}=-\dfrac {1} {16}<0$

$f''\left( -2\right) =\dfrac {2\left( -2\right) +5} {\left( -1\right) ^{4}}=1>0$

$f''\left( 0\right) =\dfrac {0+5} {\left( 1\right) ^{4}}=5>0$

-,+,+

9. určíme kde funkce f je konvexní nebo konkávní. Určíme inflexní body.

Funkce f“ je na intervalu $\left( -\infty ,-\dfrac {5} {2}\right)$ ryze konkávní, na intervalech $\left( -\dfrac {5} {2},-1\right) \left( -1,\infty \right)$ zase ryze konvexní

Inflexní body mohou byt pouze tam, kde se mění konvexnost a konkávnost funkce. Jelikož bod -1 není bodem definičního oboru, zaměřím sena bod $-\dfrac {5} {2}$ , Jak poznám je-li to inflexní bod :) děkují

10. Určíme asymptoty funkce.

Funkce není definována v bodě $x_{1}=-1$ . Je spojitá v každém bodě D(f). Tedy jen v tomto bodě může procházet svislá asymptota. Vypočítám si jednostrannou limitu.

a) Svislá asymptota

$\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {x^{2}+2x+1}=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac{2x+3} {(x+1)(x+1)}=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {(x+1)}*\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {1} {(x+1)}=$

$=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {x(2+\dfrac{3}{x})} {x(1+\dfrac{1}{x})}*\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {1} {(x+1)}=2\ast +\infty = +\infty$

Přímka x = -1 je svislá asymptota grafu funkce f

b) Šikmá asymptota

1.

$\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {f\left( x\right) } {x}=\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {\dfrac {2x+3} {x^{2}+2x+1}} {x}=\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {2x+3} {\left( x^{3}+2x^{2}+x\right) }=$

$=\dfrac {x^{3}(\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{3}})} {x^{3}( 1+\dfrac{2}{x^{}}+\dfrac{1}{x^{2}})}=\dfrac{0}{1}=0=a$

2.

$\lim _{x\rightarrow \pm \infty } \left[ f\left( x\right) -ax\right] =\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {2x+3} {x^{2}+2x+1}=\dfrac {x^{2}(\dfrac{2}{x^{}}+\dfrac{3}{x^{2}})} {x^{2}( 1+\dfrac{2}{x^{}}+\dfrac{1}{x^{2}})}=\dfrac{0}{1}=0=b$

y=ax+b
y=0

asymptotou $\pm \infty$ , grafu funkce f je přímka y=0

11. Načrtneme graf funkce.

marnes · 12. 04. 2012 23:26

$2x+5=0\Rightarrow x=\dfrac {5} {2}$

Tady je chyba!! Zkus ještě jednou

marnes · 12. 04. 2012 23:28

↑ HellBoyCz:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Konvexnost … ost_funkce

marnes · 13. 04. 2012 08:44

↑ HellBoyCz:
http://mdg.vsb.cz/zmoravkova/M1/programy/vzordp2.pdf

marnes · 13. 04. 2012 21:17

↑ HellBoyCz:

řekl bych že ano. Jinak na internetu existují programy, kde si můžeš vše zkontrolovat. Samozřejmě pokud to chce člověk umět, tak musí počítat:-)

HellBoyCz · 14. 04. 2012 10:29

jj vím, třeba wolfram, já to radši počítám, ať se to naučím ( u mě hlavně ty základy matematiky ). Jo a setkal jsem se s některými odkazy tady na fóru co mi házeli úplně jiné výsledky, než jsem měl já ověřené třeba vámi.

Proto jsem vděčný za pomoc, a pokud mohu tak tohle fórum budu podporovat aspoň sms.

Děkují, dneska tu ještě vložím další výsledky. Snad ty podrobné postupy pak někomu pomohou, jak mě :)

jelena · 14. 04. 2012 11:11

↑ HellBoyCz:

Zdravím,

v úplně 1. příspěvku jsem opravila při výpočtu "sudá"/"lichá" v jmenovateli jsi vytknul (-1), ta měla být (-1)^2. Také jsem opravila ostré závorky u def. oboru na okrouhlé (zřejmě jen překlep).

Výsledky z Wolfram občas mají "netradiční zápis", chce s nim trochu pracovat a víceméně vědět, co od stroje očekáváš :-) Pokud se nějak nezdá, nebo je třeba osvětlit, potom je dobré přímo sem vložit odkaz na vložení do Wolfram.

Spíš bych doporučovala MAW, je více lidský. Případně sem umístí náhled, který bys potřeboval prodiskutovat. Jak správně píšeš, stroje jsou dobré na kontrolu, ale postup je třeba umět. Za SMS děkuji.

jelena · 16. 04. 2012 19:42

↑ HellBoyCz:

Zdravím,

bod 10 jsem překontrolovala, část pro svislou asymptotu

$\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {x^{2}+2x+1}=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac{2x+3} {(x+1)(x+1)}=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {(x+1)}*\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {1} {(x+1)}=$ $=\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {x(2+\dfrac{3}{x})} {x(1+\dfrac{1}{x})}*\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {1} {(x+1)}=2\ast +\infty = +\infty$

Tak bych neupravovala, v prvním zlomku na druhém řádku nevyjde 2, po vykrácení v jmenovateli 1. zlomku je 0. Výsledek +oo je však dobře, asi bych napsala rovnou $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {x^{2}+2x+1}=+\infty$

Asymptota se směrnici se mi zdá v pořádku.

Kreslení grafu je dobře popsáno tady, případně se ozvi.

HellBoyCz · 16. 04. 2012 22:15

Ahoj děkují za ověření bodu 10, akorát mi není jasná úprava s po krácením 2 :(, pokrátil jsem x, zlomky v závorce mi dají takzvanou 0. Pak už mi jen zbývá z té 1 limity jen 2/1. U bodu 11 je mi jasný průběh funkce na intervalu $\left( -1,\infty \right)$ , akorát nevím, v kterém bodě na ose y mi bude průběh přecházet do 1 kvadrantu a bude se blížit k ose x do $+\infty$ (neboli kladné části).

druhá část průběhu by měla klesat podle přímky x = -1 do bodu [-2,-1] kde má funkce lokální minimum, bohužel zase nedokáží určit bod na ose x, kde mi bude průběh procházet do záporné části (3 kvadrant). Pak s bodu [-2,-1] se bude průběh blížit k ose x do $-\infty$

Bohužel jsem nenašel jak tu znázornit graf, tak přikládám odkaz na wolfram :)

Odkaz

marnes · 16. 04. 2012 22:19

↑ HellBoyCz:

Odpovídám k těm průsečíkům. Přeci průsečík s osou y znamená, že do předpisu dosadíme za x nulu. U průsečíku s osou x dosadím do předpisu za y nulu a určuju x

jelena · 17. 04. 2012 00:24

↑ HellBoyCz:

ohledně "tak zvané 0" - to by vzniklo v případě x k nekonečnu, potom 1/x k 0, ale zde je x k (-1) zprava, potom, zapíší to bez limit, jen dosazování (-1)

$\frac{x$2+\frac{3}{x}$}{x$1+\dfrac{1}{x}$}=\frac{$2+\frac{3}{x}$}{$1+\dfrac{1}{x}$}=\frac{$2+\frac{3}{(-1)}$}{$1+\dfrac{1}{(-1)}$}$

To je ta 0, která vzniká v jmenovateli a "nedovoluje" výsledek 2, jak jsi napsal.

Ovšem $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {(x+1)^{2}}$ v tomto zápisu si představuješ dosazování do jmenovatele čísla velmi blízkého (-1), např. -0,999999999, což dává v závorce v jmenovateli "zápornou nulu", po umocnění je to "kladná 0". Proto bych napsala bez podrobnějších úprav:

$\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\dfrac {2x+3} {(x+1)^{2}}=+\infty$

Průsečíky kolega marnes již osvětlil.

HellBoyCz

Dobrý den,

to marnes: děkují za vysvětlení

to jelena: děkují za vysvětlení

Výpočet bodu průniku na ose y

$y=\dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}}$ pro $x=0$ ,

$y=\dfrac {2*0+3} {\left( 1*0+1\right) ^{2}}=\dfrac {3} {\left(1\right) ^{2}}=3$

Výpočet bodu průniku na ose x

$y=\dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}}$ pro $y=0$ ,

$y=\dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}} \Rightarrow 0=\dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}}$

$0=\dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}}\Rightarrow 2x+3=0\Rightarrow2x=-3 \Rightarrow x=-\dfrac32$

PS: v čem mám vytvořit graf? ručně a nahodit scan nebo to jde jinak.

Dekují

jelena · 17. 04. 2012 12:36

↑ HellBoyCz:

:-) pokud y=0, máš rovnici:

$0=\dfrac {2x+3} {\left( x+1\right) ^{2}}$

Zlomek se rovná 0, pokud ...

Graf při vyšetření máš kreslit ručně, pomocí naznačení záchytných momentů, jak je v odkazu. Sem může umístit jako obrázek, odkazem na Wolfram, nebo pomocí tlačítka Graph pod oknem zprávy.

HellBoyCz · 17. 04. 2012 13:31

Opraveno:

Jsem si nějak neuvědomil, že už je z toho rovnice :), Zlomek je roven nule, pokud je čitatel roven nule. Ještě otázka musí se počítat ještě ta druhá část Zlomek je kladný, pokud je čitatel i jmenovatel kladný, nebo pokud je čitatel i jmenovatel záporný nebo táhle část platí jen pro nerovnice?

Večer tady vložím graf funkce.

Děkují, že máš se mnou takovou trpělivost :) ( i marnesovi )

PS: jak by se počítalo $(x+1)^2>0$ na tomhle bych se seknul, byl by postup takový, že bych podlé vzorce rozložil závorku, postavil bych to k >0 a dosadil do tohohle vzorce? $x_{1,2}=\dfrac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}=$

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2012 21:12 — Editoval HellBoyCz (11. 04. 2012 22:37)

Průběh funkce

#2 11. 04. 2012 21:22

Re: Průběh funkce

#3 11. 04. 2012 21:24

Re: Průběh funkce

#4 11. 04. 2012 21:36

Re: Průběh funkce

marnes napsal(a):

#5 11. 04. 2012 21:42

Re: Průběh funkce

#6 11. 04. 2012 21:58 — Editoval HellBoyCz (11. 04. 2012 22:13) Příspěvek uživatele HellBoyCz byl skryt uživatelem HellBoyCz. Důvod: doresene

#7 11. 04. 2012 22:13

Re: Průběh funkce

#8 11. 04. 2012 23:18

Re: Průběh funkce

#9 12. 04. 2012 08:44

Re: Průběh funkce

#10 12. 04. 2012 08:50 — Editoval HellBoyCz (12. 04. 2012 08:57)

Re: Průběh funkce

#11 12. 04. 2012 09:33

Re: Průběh funkce

#12 12. 04. 2012 12:38 — Editoval HellBoyCz (19. 04. 2012 17:17)

Re: Průběh funkce

#13 12. 04. 2012 23:26

Re: Průběh funkce

#14 12. 04. 2012 23:28

Re: Průběh funkce

#15 13. 04. 2012 08:44

Re: Průběh funkce

#16 13. 04. 2012 21:17

Re: Průběh funkce

#17 14. 04. 2012 10:29

Re: Průběh funkce

#18 14. 04. 2012 11:11

Re: Průběh funkce

#19 16. 04. 2012 19:42

Re: Průběh funkce

#20 16. 04. 2012 22:15

Re: Průběh funkce

#21 16. 04. 2012 22:19

Re: Průběh funkce

#22 17. 04. 2012 00:24

Re: Průběh funkce

#23 17. 04. 2012 09:07 — Editoval HellBoyCz (17. 04. 2012 13:10)

Re: Průběh funkce

#24 17. 04. 2012 12:36

Re: Průběh funkce

#25 17. 04. 2012 13:31

Re: Průběh funkce

Zápatí