Matematické Fórum

weca · 14. 04. 2012 11:02

Zdravím,

potřeboval bych radu, jak nejlépe určit z rekurentně zadané posloupnosti vzorec pro n-tý člen a obráceně. U jednodušších příkladů to zvládám, ale u složitějších už tápu. Není na to nějaký osvědčený recept? Děkuji předem za případné objasnění.

wolfito · 14. 04. 2012 12:49

Ahoj, zkus sem napsat nějakej příklad.

elypsa · 14. 04. 2012 13:03 — Editoval elypsa (14. 04. 2012 13:09)

↑ weca:

Ahoj!

Z rekurentního na n-tý člen to je trochu komplikovanější - musí se dokazovat atd.. Zde proto příliš neporadím.

Ale z n-tého členu na rekurentní se to dá zvládnout například pomocí a) podílu $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ; b ) rozdílu ${a_{n+1}}-{a_{n}}$

Pozn.: U podílu je třeba dát pozor aby se $a_{n}$ nerovnalo nule

Příklad:

$a_{n}=\frac{n+1}{n}$

zkusíme například podílem:
$a_{n}=\frac{n+1}{n}$
$a_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}$
$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}}=\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}$
tím jsme teda zjistili že
$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}$
takže stačí pouze vynásobit an a máme rekurentní vyjádření
$a_{n+1}=\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}\cdot a_{n}$ $a_{1}=2$

rozdílem
${a_{n+1}}-{a_{n}}=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}$
hodíš to na jeden zlomek a upravíš
potom opět jen vyjádříš $a_{n+1}$ : $a_{n+1}=tocoti vyjde+a_{n}$

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2012 11:02

Rekurentně zadaná posloupnost

#2 14. 04. 2012 12:49

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

#3 14. 04. 2012 13:03 — Editoval elypsa (14. 04. 2012 13:09)

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

Zápatí