Matematické Fórum

Maths · 14. 04. 2012 17:09

Potřebovala bych poradit... vůbec si s tím nevím rady :)

určete parametrické přímky p, víte-li, že platí : přímka p prochází středem úsečky AB, A(-1,4,5), B(2,-2,-1), přímka p je kolmá na úsečku AB a zároveň je kolmá na přímku KL, kde K (1,0,0), L(0,1,0)

smatel · 14. 04. 2012 17:37 — Editoval smatel (14. 04. 2012 17:37)

Zdravím.
Pokud vezmu první požadavek, tak má přímky procházet středem úsečky AB a má být k úsečce kolmá. Tedy přímka musí ležet v rovině kolmé na AB, která prochází středem úsečky.

Pokud vezmu druhý požadvaek, tak přímka musí být kolmá na přímku KL, tedy musí ležet v rovině kolmé k této přímce. Pakliže se jedná o tutéž přímku, pak musí i tato rovina procházet bodem přímky, tedy bodem S.

Pokud udělám průsečnici těchto rovin, mám parametrické vyjádření této přímky.
___________________________
Řešení v praxi:
směrový vektor přímky AB je normálovým vektor roviny $\alpha$ , která prochází bodem S. Vytvoříme rovnici této roviny ( $\alpha \perp \overrightarrow{AB} \wedge S\in \alpha$ )

směrový vektor přímky KL je normálový vektor roviny $\beta$ , která je kolmá k této přímce a musí procházet bodem S (bod S nemůže ležet na přímce a současně neležet). $\beta \perp \overrightarrow{KL} \wedge S\in \beta$

Nyní mám dvě obecné rovnice rovin a je třeba nalézt její průsečnici:
Jak na průsečnici, nalezneš zde.

Maths · 14. 04. 2012 19:10

↑ smatel:
nemohla bych spíš poprosit o alespoň částečné vyřešení?... fatk tomu nerozumím

smatel · 14. 04. 2012 19:51 — Editoval smatel (14. 04. 2012 19:56)

Zdravím,
omlouvám se, napověděl jsem hroozně složitý způsob, ve skutečnosti to zas tak složité není, akorát mě to zrovna nenapadlo, sorry :-)

obě přímky mají své směrové vektory

A má-li být přímka kolmá na obě přímky, musí být kolmá na oba směrové vektory. Směrový vektor hledané přímky je kolmý na směrové vektory přímek AB a KL. To ale není nic jiného, než vektorový součin těchto vektorů. Naleznešli směrový vektor kolmý k oboum vektorům, akorát tu přímku definuješ do toho bodu S.

tedy:

A(-1,4,5), B(2,-2,-1), přímka p je kolmá na úsečku AB a zároveň je kolmá na přímku KL, kde K (1,0,0), L(0,1,0)
$\overrightarrow{s}_{AB} = (3, -6, -6) \sim (1, -2, -2)$
$\overrightarrow{s}_{KL} = (1,-1,0)$

vektorový součin těchto vektorů vyjde $\overrightarrow{s}_{kolmy} = (2;2;-1)$
střed úsečky AB $S[\frac12;1; 2]$
Rovnice přímky:
$x = \frac12 + 2t$
$y = 1 + 2t$
$z = 2 - t$
$t\in R$