Matematické Fórum

Aquabellla · 14. 04. 2012 18:07

Zdravím, mám limitu dvou proměnných: $\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 2} - 1}{\sqrt[3]{x^2 + y^2 - 2x + 2} - 1}$

Zkusila jsem výraz upravit podle vzorce: $a^3 - b^3 = (a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2)$ , kde $a = \sqrt[3]{x^2 + y^2 - 2x + 2}$ a $b = 1$ .

$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 2} - 1}{\sqrt[3]{x^2 + y^2 - 2x + 2} - 1} \cdot \frac{(x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac23} + (x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac13} + 1}{(x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac23} + (x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac13} + 1} = \nl = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{(\sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 2} - 1) \cdot ((x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac23} + (x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac13} + 1)}{x^2 + y^2 - 2x + 2 - 1} = \nl = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{(\sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 2} - 1) \cdot ((x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac23} + (x^2 + y^2 - 2x + 2)^{\frac13} + 1)}{x^2 + y^2 - 2x + 1}$

A teď nevím, jak pokračovat v úpravě, případně jestli na to jdu správnou cestou. Limita má vyjít $\frac32$ .
Předem děkuji za každou pomoc!

jarrro · 14. 04. 2012 20:21 — Editoval jarrro (14. 04. 2012 20:25)

kvôli kratšiemu zápisu pomôže transformácia $x=\cos{t}\nl y=\sin{t}$ potom
$\frac{\sqrt{3-2\cos{t}}-1}{\sqrt[3]{3-2\cos{t}}-1}=\frac{\left(3-2\cos{t}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(3-2\cos{t}\right)^{\frac{1}{3}}+1}{\sqrt{3-2\cos{t}}+1}$
resp. môžeš rovno ešte ten tvoj dlhý zlomok rozšíriť $\text{odmocnina}+1$ potom
menovateľ sa skráti a dá sa dosadiť je to tuším aj viac košer, lebo transformácia je prakticky len jeden smer čo pri týchto limitách nestačí.

Andrejka3

Ahoj, snad nebude vadit, když napíšu svůj návrh. Neříkám, že to je něco nového.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Aquabellla · 15. 04. 2012 14:25

↑ jarrro:

Děkuji, substituce mě nenapadla. Prosím tě, kam jde t, když x jde k jedné a y k nule?

↑ Andrejka3:

Jak ten výraz mám dále upravit? Stále mi to vychází jako nula lomeno nulou, což je neurčitý výraz.

Andrejka3 · 15. 04. 2012 15:07

↑ Aquabellla:
$=\lim_{a \to 0^+} \frac{\sqrt{a +1} - 1}{\sqrt[3]{a + 1} - 1}$
$2 \cdot 3=6$ .
Oznacme $b=(a+1)^{1/6}$ .
Pak $\frac{\sqrt{a +1} - 1}{\sqrt[3]{a + 1} - 1}=\frac{b^3-1}{b^2-1}=\frac{b^2+b+1}{b+1}$
$b \rightarrow 1$ pro $a \rightarrow 0^+$ , tedy lim je 3/2.

Aquabellla · 15. 04. 2012 16:20

↑ Andrejka3:

Děkuji moc.

jarrro · 17. 04. 2012 10:21

↑ Aquabellla:t ide k nule,ale to je len jeden smer lepšie je asi nesubstituovať a rovno rozširovať keď substitúcia tak skorej tá od Andrejky tá goniometrická ma napadla ako prvá,ale neviem či je najvhodnejšia

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2012 18:07

Limita funkce dvou proměnných

#2 14. 04. 2012 20:21 — Editoval jarrro (14. 04. 2012 20:25)

Re: Limita funkce dvou proměnných

#3 14. 04. 2012 21:51 — Editoval Andrejka3 (14. 04. 2012 21:51)

Re: Limita funkce dvou proměnných

#4 15. 04. 2012 14:25

Re: Limita funkce dvou proměnných

#5 15. 04. 2012 15:07

Re: Limita funkce dvou proměnných

#6 15. 04. 2012 16:20

Re: Limita funkce dvou proměnných

#7 17. 04. 2012 10:21

Re: Limita funkce dvou proměnných

Zápatí