Matematické Fórum

peacemaster · 14. 04. 2012 21:49

dobrý večer, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:

dokaž že funkce $f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ vyhovuje rovnici $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}+\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial z}=0$
spočetl jsem si druhé parciální derivace podle všech tří proměnných, ale co dál? napadlo mě zvolit si nějaký bod a zkusit jestli po dosazení se bude výraz rovnat 0.

takže jsem si zvolil například bod [0,0] kde to platí, pokud však zvolím jiný bod tak už to neplatí. takto se to asi řešit nebude, tak bych prosil o nějaké nakopnutí co s tím dál :)

děkuji

xfastx · 14. 04. 2012 21:53 — Editoval xfastx (14. 04. 2012 22:19)

Zdravím, je potřeba udělat všechny ty derivace funkce, které jsou v rovnici a poté do rovnice dosadit a hned bude vidět, zda je funkce řešením nebo ne....

EDIT: Mě vychází, že ta funkce je řešením této rovnice... Takže ,pokud jsi zkoušel dosadit nějaké konkrétní body, tak by to ve všech mělo vycházet...

peacemaster · 14. 04. 2012 22:18

takže ty výrazy by se měly nějak odečíst a vyjít nula, chápu to dobře?
protože mě ty druhé derivace vyšly sice dost podobné, ale když to dosadím tak se to neodečte, asi blbě derivuju? nebo mi něco jiného ještě uniká? :)

xfastx · 14. 04. 2012 22:19

No neodečte se to, ale dá se v těch výrazech vytýkat a částečně odmocnit, a pak to vyjde..

Pavel Brožek

↑ peacemaster:

Velice výhodné je zavést si proměnnou $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Také je výhodné si přeznačit proměnné $x,y,z$ na $x_1, x_2, x_3$ a spočítat si druhou derivaci obecně pro libovolné $x_i$ . Je to pak skoro výpočet na řádek.

Jinak je úsměvné, že ti to vyšlo v bodě [0,0]. To je totiž jediný bod, kde to neplatí – funkce a tedy ani její derivace tam nejsou definovány. Přesně totiž pro tuto funkci platí $\Delta f=-4\pi\delta$ , kde $\delta$ je takzvaná Diracova delta funkce (ta je zjednodušeně řečeno nula všude kromě počátku, kde je nekonečná). Tím se ale nemusíš zatěžovat, to je o dost těžší matika, kterou po tobě určitě nikdo nechce, určitě to máš ověřit jen mimo počátek.

peacemaster

po dosazení a vytknutí mi vyjde:
$-(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}*[(3x^2+3y^2+3z^2)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}}]= 0$

ale nevím co dál :/

xfastx · 14. 04. 2012 22:54 — Editoval xfastx (14. 04. 2012 22:55)

Je lepší si to upravit na
$-3(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-\frac{3}{2}}+(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-\frac{5}{2}}(3x^{2}+3y^2+3z^2)=0$
Pak se ty záporné mocniny rozhodí na zlomky, ten jmenovatel druhého zlomku se částečně odmocní, aby se to dalo zkrátit se jmenovatelem a pak tam vyjdou stejně jmenovatele ve zlomcích, takže to jde odečíst..

peacemaster · 14. 04. 2012 23:05

↑ xfastx:
děkuji vám oběma za rady, ale pořád nevím jak to dotáhnout do konce. postupu od pavla nerozumím natolik, abych byl schopen ho aplikovat.

xfastx · 14. 04. 2012 23:10

$\frac{-3}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}+\frac{3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5}}}=0$
$\frac{-3}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}+\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}=0$
$\frac{-3}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}+\frac{3}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}=0$
A je hotovo ne?

peacemaster · 14. 04. 2012 23:19

děkuju moc za pomoc, už je to jasné, jsi bůh!

Pavel Brožek · 14. 04. 2012 23:42

Pro úplnost přidám svůj postup:

Mám funkci $f(r)=\frac1r$ . Chci spočítat $\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}$ . Spočtu si nejprve $\frac{\partial r}{\partial x_i}$ :

$\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}$\sqrt{\sum_{i=1}^3x_i^2}$=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^3x_i^2}}\cdot 2x_i=\frac{x_i}{r}$

Potom

$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=$-\frac1{r^2}$\cdot$\frac{x_i}r$=-\frac{x_i}{r^3}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}&=\frac{\partial f}{\partial x_i}$-\frac{x_i}{r^3}$=-\frac{\frac{\partial x_i}{\partial x_i}\cdot r^3-x_i\cdot\frac{\partial r^3}{\partial x_i}}{(r^3)^2}=-\frac{r^3-x_i\cdot3r^2\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}}{r^6}=\\ &=-\frac{r^3-x_i\cdot3r^2\cdot\frac{x_i}{r}}{r^6}=\frac{-r^2+3x_i^2}{r^5}$

Zbývá sečíst přes všechny indexy:

$\sum_{i=1}^3\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}=\sum_{i=1}^3\frac{-r^2+3x_i^2}{r^5}=\frac{-\sum_{i=1}^3$r^2$+3\sum_{i=1}^3$x_i^2$}{r^5}=\frac{-3r^2+3r^2}{r^5}=0$

Výpočet se pak dá jednoduše upravit pro jinou funkci $f(r)$ nebo pro jinou dimenzi prostoru než 3. Pak ale samozřejmě nemusí vyjít nula. :-)