Matematické Fórum

lecopivo

Zdravim,

zapasim s rovnicemi linearni elasticity(http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_elasticity). Predevsim s neumanovskou okrajovou podminkou. Kdyz telesem pouze otocim, tak by mela byt splnena neumenovska podminka vsude s nulovou pravou stranou, ne?

Tedy pokud $u_i = a_{ij} x_j - x_i$ , kde $a_{ij}$ je matice rotace. Pak by melo platit $\mu n_j ( u_{i,j}+u_{j,i}) + \lambda n_i u_{k,k} = 0$ vsude v prostoru a pro libovolny vektor $n_i$ .

Kdyz jsem dosadil za $u$ , tak jsem dostal $2 \mu n_j(a_{ij} - \delta_{ij}) + \lambda n_i ( a_{jj} -3 )$ coz nula neni. Protoze tam mam jeden nenulovy clen ktery mi s $n$ otoci a zbyle dva cleny $n$ jen pronasobi.

Prosim vas kde delam chybu? Predpoklad, ze ta podminka musi byt splnena s nulovou pravou stranou, by mel byt spravny ne? Vzdyt kdyz vezmu do ruky kus zeleza otocim s nim, tak ho tim preci nezdeformuji.

Dekuji za jakoukoli odpoved

FliegenderZirkus · 15. 04. 2012 11:02

↑ lecopivo:

Ahoj,

předmět "Continuum Mechanics" mi začal teprve minulý týden, takže toho zatím moc nevím. Hned na začátku jsme ale definovali "rigid body motions" jako $\textit{\textbf{x}}=\textit{\textbf{c}}(t)+\mathbf{Q}(t)\textit{\textbf{X}}$ , kde $\textit{\textbf{x}}$ je polohový vektor nějakého bodu $P_0$ , $\textit{\textbf{X}}$ je polohový vektor stejného bodu v referenční konfiguraci a $\textbf{Q}$ je ortogonální tenzor druhého řádu, pro který navíc platí $\text{det}\textbf{Q}=1$ (tím vyloučíme zrcadlení, kdy detQ=-1, a zbydou pouze rotace). To, že těleso nebude zdeformované, dokážeme tak, že vzdálenost dvou libovolných bodů tělesa zůstane konstantní:

Vezměme dva libovolné body, které byly podrobeny stejné tranformaci:
$\textit{\textbf{x}}=\textit{\textbf{c}}(t)+\mathbf{Q}(t)\textit{\textbf{X}}$
$\textit{\textbf{y}}=\textit{\textbf{c}}(t)+\mathbf{Q}(t)\textit{\textbf{Y}}$

označíme $\textit{\textbf{A}}=\textit{\textbf{X}}-\textit{\textbf{Y}}$ , $\textit{\textbf{a}}=\textit{\textbf{x}}-\textit{\textbf{y}}$ , odkud plyne $\textit{\textbf{a}}=\textbf{Q}(t)\textit{\textbf{A}}$ a konečně:
$||\textit{\textbf{a}}||=\sqrt{\textit{\textbf{a}}\cdot \textit{\textbf{a}}}=\sqrt{(\textbf{Q}(t)\textit{\textbf{A}})\cdot (\textbf{Q}(t)\textit{\textbf{A}})}=\sqrt{(\textit{\textbf{A}} \textbf{Q}^{\text{T}}(t) )\cdot(\textbf{Q}(t)\textit{\textbf{A}})}=\sqrt{\textit{\textbf{A}}( \textbf{Q}^{\text{T}}(t) \cdot \textbf{Q}(t))\textit{\textbf{A}}}=\sqrt{\textit{\textbf{A}}\cdot \textit{\textbf{A}}}=||\textit{\textbf{A}}||$

Je to aspoň trochu správným směrem? Možná taky zkus napsat použité značení. Ale jak jsem psal výše, s takhle matematickou formulací elasticity teprve začínám, takže ti nejspíš neporadím.

lecopivo · 15. 04. 2012 11:43

Ahoj, diky za odpoved,

no znaceni pouzivam nejspis standartni. tj. $u(x) = X(x) - x$ kde $x$ je polohovy vektor v referencni konfiguraci. $X(x)$ mi rika kam se jaky bod zobrazi(tj $X(x)=x$ v pripade, kdy s telesem nic nedelam).

A bohuzel jsi dokazal jen ze shodne zobrazeni zachovavaji vzdalenosti(teda podle toho jak definujes shodne zobrazeni :D). Ja chci dokazat(vice mene), ze kdzy provedu shodne zobrazeni na teleso a nepusobim na nej zadnou silou, tak se mi nijak nezdeformuje.

FliegenderZirkus

↑ lecopivo:

Tak to značení zrovna máme obráceně. :)

To, že když na těleso nepůsobím silou, tak se nezdeformuje, jsem považoval za zřejmé. Dokázat by to ale mělo jít i elementárněji než řešením té diferenciální rovnice, ne? Možná by to nebylo úplně „rigorózní“...no budu držet palce, už bych jen tipoval.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2012 10:19 — Editoval lecopivo (15. 04. 2012 12:19)

Okrajove podminky Navierovych rovnic

#2 15. 04. 2012 11:02

Re: Okrajove podminky Navierovych rovnic

#3 15. 04. 2012 11:43

Re: Okrajove podminky Navierovych rovnic

#4 15. 04. 2012 12:02 — Editoval FliegenderZirkus (15. 04. 2012 12:05)

Re: Okrajove podminky Navierovych rovnic

Zápatí