Matematické Fórum

Taufic · 14. 04. 2012 15:53

Tak ještě jednou, snad již naposled.
Mám zadanou vlnovou rovnici: $4\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(x,y)+\frac{d^{2}f}{dy^{2}}(x,y)=0$
Kde $u=x+2y$ a $v= x-2y$ .
Mám pomocí transofrmace do nových nezávisle proměnných máme tuto rovnici zjednodušit.
Jako první jsem si spočítal: $\frac{df}{dx}= \frac{df}{du} * \frac{du}{dx} +\frac{df}{dv}* \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} +\frac{df}{dv}$

A teď mám problém, že nevím jak dopočítat $\frac{d^{2}f}{dx^{2}}$ .
Myslel jsem si, že by to mohlo být takto: $\frac{d^{2}f}{dx^{2}}= \frac{df}{du}*\frac{d}{du}*\frac{du}{dx}+ \frac{df}{du}*\frac{d}{dv}*\frac{du}{dx}+ \frac{df}{dv}*\frac{d}{du}*\frac{du}{dx}+\frac{df}{dv}*\frac{d}{dv}*\frac{dv}{dx}$
ale vůbec se mi to nelíbí. Má to takto být?

peacemaster · 14. 04. 2012 21:41

ta druhá derivace je

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}= \frac{d}{du}*\frac{df}{dx}*\frac{du}{dx}+ \frac{d}{dv}*\frac{df}{dx}*\frac{dv}{dx}$

kde $\frac{df}{dx}$ je ta tvá vypočtená první derivace, tedy $\frac{df}{du} +\frac{df}{dv}$

a když to dosadíš a roznásobíš tak máš druhou derivaci podle x.

Taufic · 14. 04. 2012 22:34 — Editoval Taufic (14. 04. 2012 22:50)

↑ peacemaster:
A jsi si tím úplně jistý? Já co tu koukám na vzorový spočítaný příklad, tak tam tohle nesedí..

A ještě jsem se chtěl zeptat , to $\frac{d^{2}f}{dxdy}$ by tedy bylo $\frac{d}{du}*\frac{df}{dx}*\frac{du}{dy}+\frac{d}{dv}*\frac{df}{dx}*\frac{dv}{dy}$ ??

peacemaster

↑ Taufic:
tak mi to řikal učitel na cvičení, a spočítal sem si pomocí toho dva vzorový příklady a vychází to takže jsem si docela jistý :)

mimochodem, řešil jsem podobný příklad akorát v tý vlnový rovnici nebylo mezi členy + , ale - m, není možné že si se upsal?.

ještě bych doplnil že na to, abys spočítal tenhle příklad vůbec nepotřebuješ tu smíšenou derivaci, na kterou se ptáš výše. stačí spočítat jenom ty co se ve vlnové rovnici vyskytují.
btw: TU Liberec? :)

Taufic · 15. 04. 2012 11:35

↑ peacemaster:
Nene, jak koukám na tohle zadání tak tady je bohužel +. :)
Ano, přesně tak, TU Liberec, profesor Fin. :D
Mohl by si prosím tě rozepsat ten postup bez té smíšené funkce? :)

peacemaster · 15. 04. 2012 12:44

tady máš vyřešenej příklad, je to uplně to samý jen tam jsou jiný číslíčka :)

zadání: transformuj do nových nezávislých proměnných u,v rovnici ....

a) určíš jestli je zobrazení vzájemně jednoznačné, to uděláš tak, že vyřešíš u a v jako soustavu rovnic a pokud se y nerovná x, tak můžeš pokračovat ve výpočtech (v písemce se nestane že by zobrazení nebylo jednoznačné :D ale předpokládám že za to bude nějaký bod a pokud to neuděláš tak je nedostaneš)

b) určíš všechny derivace který se v rovnici vyskytují, takže uděláš první a z nich pak druhé parc. derivace (všechno derivuješ jako složenou funkci), ty vyčíslíš a to co ti vyšlo dosadíš do původní rovnice, zkrátíš a máš vyhráno.

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2012 15:53

Transformace do nových nezávisle proměnných

#2 14. 04. 2012 21:41

Re: Transformace do nových nezávisle proměnných

#3 14. 04. 2012 22:34 — Editoval Taufic (14. 04. 2012 22:50)

Re: Transformace do nových nezávisle proměnných

#4 15. 04. 2012 10:41 — Editoval peacemaster (15. 04. 2012 10:45)

Re: Transformace do nových nezávisle proměnných

#5 15. 04. 2012 11:35

Re: Transformace do nových nezávisle proměnných

#6 15. 04. 2012 12:44

Re: Transformace do nových nezávisle proměnných

Zápatí