Matematické Fórum

ivaberánková · 15. 04. 2012 13:00

Zdravím, mohli byste mi pomoci s pár príklady, psala jsem z nich písemku a nedopadla dobre. nejak se v tom ztrácím.
první příklad
zjistete, zda body A (1;0;3), B(0;1;-2) C (2;-2;13) leží na jedné přímce (vím, že si musim vypočítat vektor, ale pak nevim jak to mam dosazovat do toho vzorce X,Y,Z=a1,2,3 +t u1,2,3
a potom to už jsem vubec netušila
2) jsou dány body A(3;1;1) B (2;-1;0) C(1;0;3)
napiste
parametrické vyjádření roviny
obecnou rovnici (ta vim jak vypada, ale nevim jak a co do ní mam dosadit)
zjisteta zda bod D (1;0;6) leží v rovine (tady si za x,y,z dosadim to D a pak to vypočítam?)

Magicmaster · 15. 04. 2012 15:00

Je třeba vědět, že vektor se spočítá jako $\vec{u}=A-B=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)$ . Pokud chceme zjistit, zda tři body leží na jedné přímce, ze dvou bodů uděláme přímku (je to v prostoru, takže parametricky) a zkusíme, jestli i třetí bod tuto rovnici splňuje. Pokud ano, pak jsou všechny tři body na jedné přímce, tedy:
$A[1;0;3]; B[0;1;-2]; C[2;-2;13] \\ \vec{u}=A-B=(1;-1;5)$

Teď vyjádříme přímku p pomocí bodu A a vektoru u:
$p=A+tu\\ x=1+t\\ y=0-t\\ z=3+5t$

A chceme zjistit, jestli tato rovnice platí i pro bod C:
$2=1+t\\ -2=-t\\ 13=3+5t$

Tato rovnice nemá pro t řešení, takže bod C není na přímce p.

ad 2)
Pro parametrické vyjádření roviny jsou třeba dva nekolineární (směrové) vektory. Ty získáš ze tří bodů např. jako $\vec{u}=A-B\\ \vec{v}=A-C$
Poté podle předpisu pro parametrické vyjádření roviny dosadíš (je to podobný tvar jako výše pro přímku, jen tam jsou dva vektory).

Co se obecné rovnice týče, nejrychlejší způsob, jak ji určit, je pomocí vektorového součinu. Máme totiž dva směrové vektory (pro parametrické vyjádření), ale pro obecnou rovnici potřebujeme, stejně jako pro obecnou rovnici přímky v rovině, normálový vektor. Normálový vektor roviny v prostoru je kolmý na oba její směrové vektory. A tohle přesně dělá vektorový součin - výsledkem součinu $\vec{u}×\vec{v}$ je vektor $\vec{w}$ , který je kolmý na oba dva vektory.

Takže jsme vypočetli vektor $\vec{w}=(w_1;w_2;w_3)$ . Obecná rovnice roviny tedy bude vypadat $w_1x+w_2y+w_3z+d=0$ . Dosadíš jeden bod roviny za x,y,z a vyjde ti d. A voilá, máme rovnici.

A ano, bod leží v rovině, pokud splňuje její rovnici, takže (asi do obecné, přijde mi to rychlejší) dosadíš za x,y,z a pokud to vyjde, bod leží v rovině.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2012 13:00

přímka a rovina v prostoru

#2 15. 04. 2012 15:00

Re: přímka a rovina v prostoru

Zápatí