Matematické Fórum

Milan1236000 · 15. 04. 2012 18:19

Zdravím
Když jsme začínali tuhle látku, tak nám p. učitelka rozdala matematické tabulky goniometrických funkcí (ale jen sina,cosina a tangenty) a tam je třeba sin30°=0,5 atd...
Mě by zajímalo jak se to dá spočítat bez tý tabulky. Díky.

mikl3 · 15. 04. 2012 18:23

↑ Milan1236000: některé "vhodné" velikosti úhlů jdou, protože je převedeme do 1. kvadrantu a můžeme počítat, ale třeba $\sin 55,5°$ bez použití kalkulačky nespočítáš

Milan1236000 · 15. 04. 2012 19:09

ok a vysvětlíte mi prosim někdo jak mám spočítat sin30° když nemám tabulku ? Díky.

mikl3 · 15. 04. 2012 19:12

↑ Milan1236000: použij jednotkovou kružnici

Milan1236000 · 15. 04. 2012 19:18

↑ mikl3:
Nevím jak. Ukážeš mi to prosím ? Já vůbec nevím.

mikl3 · 15. 04. 2012 19:24

↑ Milan1236000: goniometrické funkce jsou definované pomocí jednotkové kružnice, ono to bude asi těžké vysvětlit, jestliže vaše učitelka vám jen hodila tabulka (nevím, jak to bylo)
zkus se podívat sem

Milan1236000 · 15. 04. 2012 19:45

↑ mikl3:
Kouknul jsem se do sešitu a našel jsem tam tohle
$sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$sin45°=\frac{1}{1,414213562373095}$
$sin45°=0,7071067811865475$ a v těch tabulkách opravdu je napsáno že $sin45°=0,7071$
Tohle chápu že $45$ se do $90$ vejde $2x$ takže tam musí být $\sqrt{2}$
Ale jakou odmocninou mám dělit $1$ když chci zjistit třeba kolik je $sin2°$ ?

mikl3 · 15. 04. 2012 19:57

↑ Milan1236000: úplně to nechápu, ale asi se snažíš aplikovat přímou úměrnost na hodnotu goniometrických funkcí, bohužel to nejde (v některých případech - matematické kyvadlo - se fce sinus idealizuje jako přímka, je to jen pro určité stupně, a o tom tu řeč není, a ani více říct nemohu, protože nevím)
koukal ses na jednotkovou kružnici?tady jsou lepší materiály

Milan1236000 · 15. 04. 2012 20:08

↑ mikl3:
Koukal jsem se tam. Je to zajímavý ale moc tomu ještě nerozumim, ale zkusim se ještě na tohle zeptat učitelky jestli mi to bude schopná nějak normálně vysvětlit :) Zatím ti moc děkuji :)

mikl3 · 15. 04. 2012 20:23

↑ Milan1236000: nezlob se, že ti neobjasním $sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nebo $sin2°$
ale podle mého názoru je potřeba mít alespoň úvod do gon. fcí za sebou.
objasním $sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$ i když dávám přednost usměrněnému tvaru $sin45°=\frac{\sqrt2}{2}$

podívej se na druhý obrázek z tohoto

je tam trojúhelník $SP_C B$ s úhlem $\alpha$ při vrcholu $S$ fce sinus je poměr protilehlé odvěsny k přeponě

vypočítáme si kolik je $\sin 45°$
pokud $\alpha=45°$ pak ten trojúhelník bude rovnoramenný takže $|SP_C|=|P_C B|$ , přepona $SB$ má délku $1$ protože to je poloměr jednotkové kružnice
potřebujeme vypočítat délky odvěsen, což je ten sinus
trojúhelník $SP_C B$ je pravoúhlý, a proto můžeme použít pythágorovy věty, odvěsnu označíme $x$
pro trojúhelník bude platit $|SP_C|^2=x^2+x^2$ (odvěsny jsou stejně dlouhé - rovnoramenný trojúhelník)
protože - jak už jsem říkal - $|SP_C|=1$ , tak $1^2=2x^2$ takže $x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

Milan1236000 · 15. 04. 2012 20:51

↑ mikl3:
Děkuji alespon za tohle. Já se nezlobím :) Děkuji.

Cheop · 15. 04. 2012 21:48 — Editoval Cheop (16. 04. 2012 07:19)

↑ Milan1236000:
Podívej se na obrázek: - je to rovnostranný trojúhelník se stranou 1

Víš, že:
1) sinus úhlu je poměr protilehlé odvěsny ku přeponě (pravoúhlého trojúhelníka)
2) Kosinus úhlu je poměr přilehlé odvěsny ku přeponě
3) Tangens úhlu je poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně
4) Kotangens je poměr přilehlé odvěsny ku protilehlé odvěsně.
Z obrázku:
$\sin\,30^\circ=\frac{\frac 12}{1}=\frac 12\\\cos\,30^\circ=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{1}=\frac{\sqrt 3}{2}\\ \text{tg}\,30^\circ=\frac{\frac 12}{\frac{\sqrt 3}{2}}=\frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\sqrt 3}{3}\\ \text{cotg}\,30^\circ=\frac{\frac{\sqrt 3}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt 3$

Zkus pokračovat určením goniometrických funkcí pro úhel 60 stupňů

Pro úhel 45 stupňů si nakresli pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s odvěsnami 1
dopočítej si z Pythagorovy věty délku přepony a odvoď si
hodnoty goniometrických funkcí pro tento úhel podle návodu výše.

Milan1236000 · 16. 04. 2012 19:38

Tyjo.. Nádherně si to vysvětlil. Chápu to. Moc ti za to děkuji :)

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2012 18:19

Goniometrické funkce

#2 15. 04. 2012 18:23

Re: Goniometrické funkce

#3 15. 04. 2012 19:09

Re: Goniometrické funkce

#4 15. 04. 2012 19:12

Re: Goniometrické funkce

#5 15. 04. 2012 19:18

Re: Goniometrické funkce

#6 15. 04. 2012 19:24

Re: Goniometrické funkce

#7 15. 04. 2012 19:45

Re: Goniometrické funkce

#8 15. 04. 2012 19:57

Re: Goniometrické funkce

#9 15. 04. 2012 20:08

Re: Goniometrické funkce

#10 15. 04. 2012 20:23

Re: Goniometrické funkce

#11 15. 04. 2012 20:51

Re: Goniometrické funkce

#12 15. 04. 2012 21:48 — Editoval Cheop (16. 04. 2012 07:19)

Re: Goniometrické funkce

#13 16. 04. 2012 19:38

Re: Goniometrické funkce

Zápatí