Matematické Fórum

Michaell0071 · 15. 04. 2012 14:04

Zdravím Vás lidi. Chtěl bych poprosit o radu jak dále pokračovat v tomto příkladu kde mám nalézt lokální extrémy: $z=x^{3}+xy+y^{2}$
Jako první jsem zpočítal parciální derivace 1. řádu ty mi vyšly takto: $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+y$ a $\frac{\partial f}{\partial y}=x+2y$
Dále se mi snad podařily spočítat stacionární body které jsou: $0$ a $[\frac{1}{6};-\frac{1}{12}]$
Dále jsem počítal parciální derivace 2. řádu ty mi vyšly takhle: $\frac{\partial ^2{f}}{\partial x^{2}}=6x$ , $\frac{\partial ^2{f}}{\partial y^{2}}=2$ , $\frac{\partial ^2{f}}{\partial x{}\partial y}=1$
Teď jsem ale v koncích nevím jak mám pokračovat dál. Děkuji za pomoc.

mal84 · 15. 04. 2012 20:26

Zdravím...
Dál musíš vypočítat determinanty druhého řádu: f´´(xx) f´´(xy)
f´´(yx) f´´(yy),
přičemž dosazuješ konkrétní hodnoty parciálních derivací ve vypočítaných stacionárních bodech (vyšly 2 stacionární body, tedy budeš počítat dva determinanty).
Pokud determinant vyjde kladný, v daném stacionárním bodě nastává lok. extrém, pokud vyjde záporný, extrém nenastává. Kdyby vyšel roven 0, tak nelze touto metodou rozhodnout o tom, zda extrém nastává nebo nenastává v daném bodě.

Michaell0071

↑ mal84:OK, vypočetl jsem tento determinant: |6x 1|
|1 2|
a vyšel $12x-1$
Teď do výsledku za x dosadit x z druhého stacionárního bodu, tedy $\frac{1}{6}$ ?
Popřípadě mě prosím opravte jestli jsem něco udělal špatně.
Ten druhý determinant se má zkládat z jakých členů?
Díky

mal84 · 15. 04. 2012 21:08

↑ Michaell0071:
Pro stacionární bod $[\frac{1}{6},\frac{-1}{12}]$ dostaneme hodnotu determinantu $12\cdot \frac{1}{6}-1=1$

Pro stacionární bod $[0,0]$ je determinant roven $-1$

Obecně jste vypočítal, že se determinant rovná $12x-1$ a ted sem dosazujete za x x-ové souřadnice stacionárních bodů..

Michaell0071

↑ mal84:Aha, děkuji za vysvětlení a upřesnění. Ještě bych se rád zeptal ve škole nám říkali, když určujeme typ extrému a parciální derivace 2. řádu výjde větší jak nula nastává lokální maximum a když menší jak nula tak lokální minimum. Ověřoval jsem si však výsledek jednoho příkladu co jsem vypočítal na internetu a zde to bylo přesně naopak. Jak je to tedy správně.
Když dovolíte tak se ještě vrátím k příkladu který zde řešíme. Druhý determinant tedy bude?: |0 1|
|1 0|
Je tak správně?
Když to uzavřu: pro stacionární bod $[0;0]$ nenástává extrém a pro stacionární bod $[\frac{1}{6};-\frac{1}{12}]$ kde je parciální derivace druhého řádu rovna 1. $\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}=1$ nastává lokální a teď nevím jestli to maximum nebo minimum když je 1>0 :)
Díky moc

mal84 · 15. 04. 2012 21:35

↑ Michaell0071:

Pro bod $[0,0]$ máme determinant 0 1
1 2, vychází záporně, takže zde extrém není.

Pro bod $[\frac{1}{6},\frac{-1}{12}]$ je determinant kladný, takže extrém nastává a bude to lokální MINIMUM.

Platí: Jestli to bude lok. maximum či minimum, zjistíme dosazením onoho bodu do druhé parciální derivace f´´xx nebo f´´yy (ne však do smíšené derivace f´´xy).
Pokud tato derivace vyjde KLADNÁ, tak pak nastává v daném stacionárním bodě MINIMUM, pokud vyjde ZÁPORNÁ, bude tam MAXIMUM.

Michaell0071 · 15. 04. 2012 23:40

↑ mal84:Děkuji Vám.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2012 14:04

Nalezení lokálních extrémů.

#2 15. 04. 2012 20:26

Re: Nalezení lokálních extrémů.

#3 15. 04. 2012 21:03 — Editoval Michaell0071 (15. 04. 2012 21:03)

Re: Nalezení lokálních extrémů.

#4 15. 04. 2012 21:08

Re: Nalezení lokálních extrémů.

#5 15. 04. 2012 21:25 — Editoval Michaell0071 (15. 04. 2012 21:26)

Re: Nalezení lokálních extrémů.

#6 15. 04. 2012 21:35

Re: Nalezení lokálních extrémů.

#7 15. 04. 2012 23:40

Re: Nalezení lokálních extrémů.

Zápatí