Matematické Fórum

Majki · 16. 04. 2012 00:53

ahoj
prosimvas
mam tady příklad
$\int \frac{xe^{arctg x}}{(1+x^2)^{\frac32}}dx$

tady bych zřejmě zavedl substituci t=arctg x
čili tg t=x
$dt=\frac{1}{1+x^2}$

dostanu
$\int \frac {tg (t) e^t}{t^{\frac32}}dt$

a tady přemýšlím jak co nejlépe k nějakémustravitelnému výsledku možná per partes?

jardofpr

ahoj ↑ Majki:

tú substitúciu si dosť domotal, až to vyzerá že ti nie je jasný jej princíp

keď dáš subst. $x=f(t)$ tak zmena diferenciálu bude $\mathrm{d}x=f'(t) \, \mathrm{d}t$

tvoja substitúcia môže vyzerať:

$x=\mathrm{tg}\,t\,,\,t \in \Big(-\frac{\pi}{2}\,,\,\frac{\pi}{2}\Big)$
$\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{d}}t}{(\cos{t})^{2}}$
$\Rightarrow \qquad \mathrm{arctg}\,x=t$

a

$\int \frac{x\,\mathrm{e}^{\mathrm{arctg}\,x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{tg}\, t}{(1+(\mathrm{tg}\,t)^{2})^{\frac{3}{2}}}\,\cdot\,\frac{\mathrm{d}t}{(\cos{t})^{2}}$

pri inej voľbe to ide trochu rýchlejšie upravovať v tomto príklade $( g(x)=t\,,\,g'(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t )$

$\mathrm{arctg}\, x = t$ $\Big/ \quad\Rightarrow t \in \Big(-\frac{\pi}{2}\,,\,\frac{\pi}{2}\Big)\qquad\Big/$
$\frac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}}=\mathrm{d}t$
$\Rightarrow x=\mathrm{tg}\,t$ a vylezie z toho

$\int \frac{x\,\mathrm{e}^{\mathrm{arctg}\,x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{tg}\,t}{\sqrt{1+(\mathrm{tg}\, t)^{2}}}\,\mathrm{d}t$

pod integrálom je tá istá funkcia ako pri predchádzajúcej subst., len trochu inak zapísaná

ďalej sa dá upravovať napr.
$\frac{\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{tg}\,t}{\sqrt{1+(\mathrm{tg}\, t)^{2}}}=\sqrt{(\cos{t})^{2}}\,\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{tg}\, t$

pre $t \in \Big(-\frac{\pi}{2}\,,\,\frac{\pi}{2}\Big)$ platí $\cos{t}>0$

z toho $\sqrt{(\cos{t})^{2}}=|\cos{t}|=\cos{t}$

a dostali sme sa ku rovnosti $\int \frac{\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{tg}\,t}{\sqrt{1+(\mathrm{tg}\, t)^{2}}}\,\mathrm{d}t = \int \mathrm{e}^{t}\sin{t} \, \mathrm{d}t$

ten posledný integrál sa dobre rieši dvojnásobným použitím metódy per partes,
kde zvolíš 2-krát po sebe napr. $u'=e^{t}=u$ a zbytok sa bude derivovať

mal by si dostať nasledujúcu rovnosť, z ktorej sa už dá hľadaný integrál po malých úpravách vyjadriť

$\int \mathrm{e}^{t}\sin{t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{t}(\sin{t}-\cos{t})-\int \mathrm{e}^{t}\sin{t}\mathrm{d}t$ $\Big/ + \int \mathrm{e}^{t}\sin{t}\mathrm{d}t$
$2\int \mathrm{e}^{t}\sin{t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{t}(\sin{t}-\cos{t})$

rovnicu už len predelíš dvomi a podosadzuješ späť čo si substituoval
výsledok by mal byť
$\mathrm{e}^{\mathrm{arctg}\,x}\,\cdot\,\frac{\sin{(\mathrm{arctg}\,x)}-\cos{(\mathrm{arctg}\,x)}}{2}$

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2012 00:53

integral

#2 16. 04. 2012 03:44 — Editoval jardofpr (16. 04. 2012 16:16)

Re: integral

Zápatí