Matematické Fórum

Aurinko · 16. 04. 2012 08:41

Pěkný den, v matematickém klokanovi z roku 2007 jsem našla úlohu, se kterou si nevím rady. Budu ráda za jakýkoliv návod, jak to vyřešit - všechny mé úvahy zatím vedou do slepé uličky...

Určete hodnotu součtu:
1/(2*sqrt(1)+1*sqrt(2)) + 1/(3*sqrt(2)+2*sqrt(3)) + ... + 1/(100*sqrt(99)+99*sqrt(100))

Rumburak

Také přeji pěkný den.

Máme určit součet zlomků

$Z_k :=\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} , k = 1 , ... , 99$ .

Tomu pomůže, když zlomek $Z_k$ rozšíříme odpovídajícím výrazem $(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}$ .

Aurinko · 16. 04. 2012 11:03

Děkuju za nápovědu, ale stejně asi nadále někde dělám chybu... Když všechny zlomky rozšířím, odečte se mi vše kromě prvního a posledního členu. Zbývá mi tedy (2*sqrt(1))/2 - (99*sqrt(100)/100). Po odečtení těchto čísel mi ale rozhodně nevyjde požadovaný výsledek 9/10...

Rumburak · 16. 04. 2012 11:22

↑ Aurinko:

Po rozšíření by mělo vyjít

$Z_k = \frac {\sqrt{k}}{k} - \frac {\sqrt{k+1}}{k+1} = \frac {1}{\sqrt{k}} - \frac {1}{\sqrt{k+1}}$ ,

součet pro k=1, ... , 99 bude $\frac {1}{\sqrt{1}} - \frac {1}{\sqrt{100}} = ...$ .

Aurinko · 16. 04. 2012 11:35

No jistě, mockrát děkuju - udělala jsem chybu při krácení posledního zlomku, teď už to vychází.

peter_2+2

Ono je to dost podobné jedné Bernoulliho posloupnosti(nevím teď který Bernoulli to vymyslel)

$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}= \frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+\frac{4-3}{3*4}$

To se pak dá přepsat jako
$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$

A platí to i obecně
$\frac{b-a}{a*b}+\frac{c-b}{b*c}+\frac{d-c}{c*d}$

Tady u toho příkladu po rozšíření
$\frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k*(k+1)} = \frac{(\sqrt{k+1})^{2}\sqrt{k}-(\sqrt{k})^{2}\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k})^{2}*(\sqrt{k+1})^{2}}$
$\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}*\sqrt{k+1}}$

Jinak taky
$Z_k :=\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k}*\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}*\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}$
$\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}*\sqrt{k+1}}$

Rumburaka neposlouchej, to je čaroděj druhé kategorie :)) (pokus o vtip).