Matematické Fórum

Sam_Hawkins

poradí mi, prosím, někdo s těmito limitami?

$\lim_{x\to a}\frac{x^{m}-a^{m}}{x-a}$
$\lim_{x\to a}\frac{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}}$

samozřejmě bez L'H :)

Pavel Brožek · 16. 04. 2012 18:45

↑ Sam_Hawkins:

Ahoj,

m je předpokládám přirozené číslo. Myslím, že pomůže si rozdíl rozepsat podle vzorce $a^n-b^n=(a-b)\cdot\sum_{i=0}^{n-1} a^ib^{n-1-i}$ .

Pavel Brožek · 16. 04. 2012 18:51

Nebo jiný postup (pokud už umíš derivovat mocninné funkce):

$\lim_{x\to a}\frac{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}}&=\lim_{x\to a}\frac{x^{m}-a^{m}}{x-a}\cdot\frac{1}{\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}}=\\ &=\lim_{x\to a}$\frac{x^{m}-a^{m}}{x-a}$\cdot\frac{1}{\lim_{x\to a}$\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$}=\\ &=(x^m)'|_{x=a}\cdot\frac1{(x^n)'|_{x=a}}$

(Využil jsem toho, že limita, která se mi tam objeví, je přímo definice derivace mocninné funkce.)

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2012 18:34 — Editoval Sam_Hawkins (16. 04. 2012 18:34)

limita

#2 16. 04. 2012 18:45

Re: limita

#3 16. 04. 2012 18:51

Re: limita

Zápatí