Matematické Fórum

NeMatematik29

ahoj, mam dokazat, ze plati:
$\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$
a nějak vůbec netuším:((
děkuju moc za jakoukoli pomoc..

Bati · 16. 04. 2012 20:09

Na to se dá nejjednodušeji přijít úvahou. Pravá strana je počet způsobů jak vybrat n-tici z 2n prvků. Teď tyto způsoby budu počítat trochu jinak. Rozdělím si 2n prvků na 2 hromádky po n prvcích. Teď budu jednotlivé n-tice vybírat tak, že z první hromádky vezmu k prvků (to můžu udělat $\binom{n}{k}$ způsoby) a z druhé hromádky mi zbývá vzít n-k prvků (to lze vybrat $\binom{n}{n-k}$ způsoby). Víme ale že $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$ a tedy pro nějaké k z těchto 2 hromádek můžu n-tici vybrat $\binom{n}{k}^2$ způsoby. Teď to stačí sečíst přes všechna možná k a vyjde suma vlevo.

NeMatematik29 · 16. 04. 2012 20:21

↑ Bati:
tohle jsem tak nejak tusila, ale uznaj mi to jako dukaz? ale díky moc:)

Bati · 16. 04. 2012 20:29

Pokud se ta myšlenka precizně zapíše, tak musí:) - je to normální kombinatorický důkaz. A navíc, co si tak pamtuju, zrovna u tohodle tvrzení jsou ostatní početní důkazy hodně krkolomný.

NeMatematik29 · 16. 04. 2012 20:47

↑ Bati:
ok, tak to zkusim:)děkuju mockrat

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2012 19:37 — Editoval NeMatematik29 (16. 04. 2012 19:37)

kombinacni cisla dukaz

#2 16. 04. 2012 20:09

Re: kombinacni cisla dukaz

#3 16. 04. 2012 20:21

Re: kombinacni cisla dukaz

#4 16. 04. 2012 20:29

Re: kombinacni cisla dukaz

#5 16. 04. 2012 20:47

Re: kombinacni cisla dukaz

Zápatí