Matematické Fórum

barbora87 · 16. 04. 2012 13:22

Ahoj, prosim Vas pomohl byste mi nekdo s timto příkladem, nevim ani jak zacit.

Nalezněte souřadnice vrcholů A1,A7,A12 pravidelního 12-uhelníku se stredme v (3,-1) a vrcholem A0=(0,0) a vyjadrete ho bez pouziti goniometrickych funkci (pri vypoctu goniometrickych funkci pouzit lze). Vrcholy jsou číslovany standartne, tedy proti smeru hodinovych rucicek.

Pomohlo by mi treba vypocitat, jeden vrchol na ostatni pak treba prijdu, dekuji

Rumburak

Ahoj.

Uměla bys to vyřešit, pokud by střed byl v počátku a vrchol A0 v bodě [1, 0] ?

K tomu je potřeba pohlížet na rovinu jako na množinu všech komplexních čísel. Potom $A_0 = 1$ a další vrcholy (v kladném smyslu)
dostaneme ve tvaru $A_k = A_0 (\cos \alpha + \mathrm{i}\,\sin \alpha)^k$ pro vhodný úhel $\alpha$ .

Na tento speciální případ se Tvoje původní úloha převede vhodnou substitucí složenou z otočení, stejnolehlosti a posunutí.

Viz též součin k.č. v goniometrickém tvaru, Moivreova věta, binomické rovnice.

barbora87 · 16. 04. 2012 18:36

↑ Rumburak:

jj, myslím že to bych uměla, vrcholy by mely být $x_{k}=cos \frac{k2\pi}{12}+ isin\frac{k2\pi }{12}, k=0,..11$

no a dal teda moc nevim posunula bych to, takze bych vzala napr A0´=A0-1, ale nevim jak s tou stejnolehlosti ani s tim otocenim. Pomohl by jsi mi jeste s timhle? myslim ze to bude nejak souviset se vzdalenosti A0 od S a ta bula u toho puvodniho 1, a u toho myho posunutyho je $\sqrt{10}$ . dík

Rumburak

↑ barbora87:
Ano. Tvůj vzorec $x_{k}=\cos \frac{k\cdot 2\pi}{12}+ \mathrm{i}\,\sin\frac{k\cdot 2\pi }{12}, k=0,..11$ odpovídá "mému" vzorci $A_k = A_0 (\cos \alpha + \mathrm{i}\,\sin \alpha)^k$ ,
kde $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (Moivreova věta) a je-li speciálně $A_0 =1$ . Taková je situace v případě, když $S =0$ (střed 12-ti úhelníka) .
Vzorec pro případ obecného středu $S$ a obecného vrcholu $A_0$ je

$A_k -S= (A_0-S) (\cos \alpha + \mathrm{i}\,\sin \alpha)^k$ .

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2012 13:22

komplexní čísla- vrcholy dvanáctiúhelníka

#2 16. 04. 2012 14:38 — Editoval Rumburak (16. 04. 2012 15:13)

Re: komplexní čísla- vrcholy dvanáctiúhelníka

#3 16. 04. 2012 18:36

Re: komplexní čísla- vrcholy dvanáctiúhelníka

#4 17. 04. 2012 09:05 — Editoval Rumburak (17. 04. 2012 09:36)

Re: komplexní čísla- vrcholy dvanáctiúhelníka

Zápatí