Matematické Fórum

FlyingMonkey · 17. 04. 2012 11:05

Ahoj,

prosím o pomoc :)

"Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete jejich velikost, je-li obsah trojúhelníku 6dm^2"

Díky za pomoc :)

Takjo · 17. 04. 2012 11:35

↑ FlyingMonkey:
Dobrý den,
zkuste na to jít takto:
- kratší odvěsna: $a=b-d$
- delší odvěsna: $b$
- přepona: $c=b+d$
- plocha trojúhelníku: $\frac{a\cdot b}{2}=6$
- Pythagorova věta: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
a vyřešte soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé... :)

Rumburak · 17. 04. 2012 11:38

Ahoj.

Tak to vezměme postupně.

Dejme tomu, že strany jsou označeny a < b < c .
Co znamená výrok, že jde o 3 po sobě jdoucí členy aritm. posloupnosti ?

Cheop · 17. 04. 2012 13:50 — Editoval Cheop (17. 04. 2012 14:18)

↑ FlyingMonkey:
Pamatuj si toto:
Pokud je v zadání:
Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti pak se vždy jedná o modifikaci pravoúhlého trojúhelníku se stranami
3k, 4k, 5k
Protože obsah základního trojúhelníku (k =1) je 3*4/2 = 6 j^2
a náš zadaný trojúhelník má obsah 6 dm^2
Potom řešením je:
Strany trojúhelníku jsou 3 dm, 4 dm, 5 dm

PS: To, že se jedná o trojúhelník se stranami 3k, 4k, 5k jsem tady už někde dokazoval
Dúkaz:
Platí:
$a=b-k\\b=b\\c=b+k$ - k = diference
$(b-k)^2+b^2=(b+k)^2\\b^2-2bk+k^2+b^2=b^2+2bk+k^2\\b^2=4bk\\b=4k\\a=b-k\\a=3k\\c=b+k\\c=5k$
Strany trojúhelníku jsou $(3k;\,4k;\,5k)$
Těch zadání může být s tímto troj. mnoho.
Např.
Určete délky stran pravoúhlého trojúhelníku jehož strany tvoří 3 po sobě jdoucí členy AP,
když víte, že poloměr kružnice vepsané tomuto trojúhelníku se rovná 4

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2012 11:05

Trojúhelník + aritm. posl.

#2 17. 04. 2012 11:35

Re: Trojúhelník + aritm. posl.

#3 17. 04. 2012 11:38

Re: Trojúhelník + aritm. posl.

#4 17. 04. 2012 13:50 — Editoval Cheop (17. 04. 2012 14:18)

Re: Trojúhelník + aritm. posl.

Zápatí