Matematické Fórum

cs.pata · 17. 04. 2012 11:08

Čaute, nevím si moc rady s tímhle příkladem, poradil by někdo prosím ?

Zadání: Určete definiční obor funkce $f(x,y)=\sqrt{\frac{y-x^{2}}{x^{3}-y}}$
ma vyjít nevím jak mam postupovat aby tohle vyšlo:( napadlo mě že třeba šlo $\frac{\sqrt{y-x^{2}}}{\sqrt{x^{3}-y}}$ ale to mi zas nevychází:( prosím o radu

jardofpr

ahoj ↑ cs.pata:,

body ktoré treba vylúčiť sú
1.)tie pre ktoré je v menovateli zlomku nula
2.)tie pre ktoré je pod odmocninou nula

prvá podmienka:

$(x^3-y\neq 0 )\Leftrightarrow (y \neq x^3)$ z roviny $\mathbb{R}^2$ teda bude vylúčený graf funkcie $y=x^3$ $(3)$

druhá podmienka:

$\Big(\frac{y-x^2}{x^3-y} \geq 0\Big)\Leftrightarrow\Big[\Big(\frac{y-x^2}{x^3-y}>0\Big)\vee \Big(\frac{y-x^2}{x^3-y}=0\Big)\Big]$

$\Big(\frac{y-x^2}{x^3-y}=0\Big)\Leftrightarrow (y-x^2=0)\Leftrightarrow (y=x^2)$
do def.oboru funkcie teda bude patriť graf funkcie $y=x^2$ s výnimkou bodov $[0,0]$ a $[1,1]$ lebo tie boli vylúčené v (3)

$\Big(\frac{y-x^2}{x^3-y}>0\Big)\Leftrightarrow\Big( [ (y-x^2>0) \wedge (x^3-y>0)] \vee [(y-x^2<0)\wedge (x^3-y<0)]\Big) \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \Big( [(y>x^2) \wedge (y<x^3)]\vee[(y<x^2)\wedge(y>x^3)] \Big)$

zhrnutie týchto výsledkov určuje množinu ktorú máš na obrázku ako def.obor danej funkcie