Matematické Fórum

MiraZ · 23. 10. 2008 14:34

Ahoj,
mohli byste mi prosím zkontrolovat tento příklad zda jsem jej vyřešil správně, případně mě upozornit na nějakou chybu? Díky moc

${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{tgx-sinx}{sin^2x}={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{\frac{sinx}{cosx}}{sin^2x}-\frac{sinx}{sin^2x}=$
${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx}{sin^2x }*\frac{1}{cosx}-\frac{sinx}{sin^2x }={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{1}{sinx}*\frac{1}{1}-\frac{1}{sinx}=$
${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{1-1}{sinx}=0$

Pavel Brožek · 23. 10. 2008 14:54

Výsledek je dobře. Vysvětli ale jak jsi udělal tento krok:

${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx}{sin^2x }*\frac{1}{cosx}-\frac{sinx}{sin^2x }={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{1}{sinx}*\frac{1}{1}-\frac{1}{sinx}=$

Domnívám se totiž, že jsi to myslel jako limitu součinu a zlomek $\frac1{\cos x}$ vyčíslil. To by ale nebylo dobře, protože v limitě je ještě další člen, z kterého $\frac1{\cos x}$ není vytknuté. Možná jsi to myslel jinak a správně, proto žádám o vysvětlení.

MiraZ · 23. 10. 2008 15:38

Je to tak jak to říkáš, došel jsem tady
${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{1}{sinx}*\frac{1}{cosx}-\frac{1}{sinx}$

a pak už jsem nevěděl jak dál tak jsem vyčíslil $\frac1{\cos x}$

Nevím ale jak se dostat dál aniž bych $\frac1{\cos x}$ nevyčíslil.

Pavel · 23. 10. 2008 15:42

↑ MiraZ:

co tak zkusit něco vytknout? :-)

Cheop · 24. 10. 2008 11:56

↑ MiraZ:
nahraď výraz $\sin^2x$ výrazem $1-\cos^2x=(1+\cos\,x)(1-\cos\,x)$ a uprav si čitatel zlomku. Pak už s tím určitě něco uděláš.

MiraZ · 24. 10. 2008 21:34

No ikdyž jsem to nahradil tak jsem se zasekl

${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{tgx-sinx}{sin^2x }={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{sin^2x}={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx-sinxcosx}{(1+cosx)(1-cosx)cosx}=$
${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx}{(1+cosx)cosx}$

A dál nevím jak, ale zkusil jsem na to jít jinak.

${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{tgx-sinx}{sin^2x }*\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{\frac{tgx}{x}-\frac{sinx}{x}}{\frac{sin^2 }{x}}$
${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{1-1}{\frac{sinxsinx}{x}}={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{0}{sinx}=0$

Původní zlomek jsem rozšířil. $\frac{tgx}{x}$ a $\frac{sinx}{x}$ se rovnají jedné pokud vím. A pokud je $sin^2x=sinxsinx$ tak by to mohlo být OK ne?

Nebo já už s tímto příkladem fakt nevím, ale jak se znám tak už vymýšlím šílenosti a přitom řešení bude nakonec jednoduché.

MiraZ · 25. 10. 2008 14:52

teď mě to napadlo

budu pokračovat tam kde jsem se zasekl

${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx}{(1+cosx)cosx}={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx}{(1+cosx)cosx}*\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=$
${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{\frac{sinx}{x}}{\frac{(1+cosx)cosx}{x}}={\lim}\limits_{x \to \0}\frac{1}{\frac{(1+cosx)cosx}{x}}={\lim}\limits_{x \to \0}1*\frac{x}{cosx(1+cosx)}=1*\frac{0}{2}=0$

To už by mělo být v pořádku doufám. Co vy na to?

Pavel Brožek · 25. 10. 2008 16:06

↑ MiraZ:

Ano, toto už je dobře. Ale stejně to zbytečně komplikuješ.

${\lim}\limits_{x \to \0}\frac{sinx}{(1+cosx)cosx}=\frac{sin0}{(1+cos0)cos0}=\frac{0}{2\cdot1}=0$

MiraZ · 25. 10. 2008 16:12

Vidíš, to mě vůbec nenapadlo to už vyčíslit, ale aspoň to už chápu. Děkuju moc všem za rady.

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2008 14:34

kontrola výpočtu limity

#2 23. 10. 2008 14:54

Re: kontrola výpočtu limity

#3 23. 10. 2008 15:38

Re: kontrola výpočtu limity

#4 23. 10. 2008 15:42

Re: kontrola výpočtu limity

#5 24. 10. 2008 11:56

Re: kontrola výpočtu limity

#6 24. 10. 2008 21:34

Re: kontrola výpočtu limity

#7 25. 10. 2008 14:52

Re: kontrola výpočtu limity

#8 25. 10. 2008 16:06

Re: kontrola výpočtu limity

#9 25. 10. 2008 16:12

Re: kontrola výpočtu limity

Zápatí