Matematické Fórum

Skalda · 18. 04. 2012 18:37

Prosim o pomoc s priklady :) :

jardofpr · 19. 04. 2012 08:26

↑ Skalda:

5.)

$A_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x=0 + \frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x+0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x=$
$=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{8}$

$A_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{(nx)}\,\mathrm{d}x= \dots = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigg( \frac{\pi}{2}-x \bigg)\,\cos{(nx)}\,\mathrm{d}x=\left| \begin{array}{rcl} x&=&\frac{t}{n}\\ &&\\ \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}t}{n}\end{array} \right|=$ (miesto bodiek je ten istý postup ako pri $A_{0}$ )
$=\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{n\pi/2}\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{t}{n}\bigg)\cos{t}\,\mathrm{d}t$

pomocou per partes $u'=\cos{t}\,,\,v=\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{t}{n}\bigg)$ vyjde

$A_{n}=\frac{2}{n^{2}\pi}\bigg(1-\cos{\bigg( \frac{n\pi}{2} \bigg)}\bigg)$

dá sa to ešte upraviť na $A_{n}=\frac{4}{n^2 \pi} \,\sin^2{\bigg( \frac{n\pi}{4} \bigg)}$

$B_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{(nx)}\,\mathrm{d}x=0\qquad \forall n \in \mathbb{N}$ lebo funkcia pod integrálom je nepárna

rad konverguje bodovo v každom bode $x_{0}\in [-\pi,\pi]$ k $f(x_{0})$ takže môžme písať rovnosť

$f(x)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_{n}\cos{(nx)}+B_{n}\sin{(nx)} \Big)=\frac{\pi}{8}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2 \pi} \,\sin^2{\bigg( \frac{n\pi}{4} \bigg)}\cos{(nx)}$

kde $\sin^{2}{\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)}$ cyklicky nadobúda hodnoty

$0\qquad \text{pre}\,\,\, n=4k\,,\,k \in \mathbb{N}$
$\frac{1}{2}\qquad \text{pre}\,\,\, n=1+2k\,,\,k \in \mathbb{N}\cup\{0\}$
$1\qquad \text{pre}\,\,\,n=2+4k\,,\,k \in \mathbb{N}\cup\{0\}$

takže sa to bude dať zapísať jednoduchšie

Skalda · 22. 04. 2012 08:31

A nevedel by nekdo co s tou 1. Konkretne co s tim sinusem? Kdesi jsem tu cetl, ze by sel prevest na exponencialni tvar, ale to se obavam, ze by mi tam vznikla hruza :).

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2012 18:37

Fourierova rada a integral.

#2 19. 04. 2012 08:26

Re: Fourierova rada a integral.

#3 22. 04. 2012 08:31

Re: Fourierova rada a integral.

Zápatí