Matematické Fórum

Fredy.00 · 19. 04. 2012 16:56

ahoj, kde je chyba? ta žlutě vyznačená část je zadání.

děkuji

zdenek1 · 19. 04. 2012 17:07

↑ Fredy.00:
Pokud je úkolem najít obecnou rovnici přímky procházející body $K$ a $L$ , tak
je to špatně celé. Rovnici si napiš $y=ax+b$
dosazení bodu $K$
$-1=-4a+b$
dosazení bodu $L$
$3=3a+b$

a vyřešit soustavu
$\begin{cases}-1=-4a+b\\3=3a+b\end{cases}$

a pak převést na obecný tvar

co je to $u_1$ a $u_2$ nechápu.

Fredy.00 · 19. 04. 2012 17:16

↑ zdenek1:

tak obecnou rovnici přímky mám v tabulkách nadefinovanou jako "ax + by + c = 0" a ve stejném tvaru to i ve škole používáme

Fredy.00 · 19. 04. 2012 17:22

↑ Fredy.00:

pro úplnost obsah mojích tabulek

dominiksuroviak

↑ Fredy.00:
Alebo si urč normálový vektor priamky. Do rovnice ax+by+c=0 dosaď za ab súradnice normáloveho vektora, a za xy súradnice jedného z bodov(K alebo L). Riešením rovnice vypočítaš c. Znova dosadíš do rovnice ax+by+c=0, lenže xy už nedosadzuješ.

Smerový vektor u=/KL/=/L-K/=/7;4/
Normálový vektor určíš tak, že si zameníš poradie súradníc a pri jednej súradnici zmeníš znamienko (preto lebo normálový vektor je na smerový vektor kolmý, a preto ich skalárny súčet sa musí rovnať 0)
Čiže normálový vektor n=/4;-7/
Do rovnice ax+by+c=0 dosadíš 4*(-4)+(-7)*(-1)+c=0
Riešiš rovnicu a dostaneš c=9
Znova dosadíš do rovnice ax+by+c=0. Čiže všeobecná rovnica priamky je: 4x-7y+9=0

zdenek1 · 19. 04. 2012 17:38

↑ Fredy.00:
To je všechno pěkné, ale nepomůže ti to.
Já znám tři způsoby, jak se dostat od dvou bodů k obecné rovnici přímky. Nabídl jsem ti jeden, který považuju za jednoduchý a srozumitelný. Pokud se ti nelíbí, musíš napsat, jak to děláte ve škole, a pak to můžeme dál řešit.
Nic to nemění na tom, že na tvém papíru je všechno - až na tu rovnici $ax+by+c=0$ - špatně.

Fredy.00 · 19. 04. 2012 17:51

↑ zdenek1:

okej, žádám o způsob před to rovnici "ax + by + c = 0", protože ten používáme ve škole

děkuji

mikl3 · 19. 04. 2012 17:54

↑ Fredy.00: jen si dovolím říct, že rovnice od ↑ zdenek1: a sice: $y=ax+b$ je až neskutečně podobná $ax+by+c=0$ jen s tím rozdílem, že je vše na jedné straně a místo označení $c$ ↑ zdenek1: použil $b$

zdenek1 · 19. 04. 2012 18:14

↑ Fredy.00:
a) určíš směrový vektor: $u_1=x_L-x_K=3-(-4)=7$ , $u_2=y_L-y_K=3-(-1)=4$
$\vec s=(7;4)$
b) z toho určíš normálový vektor $\vec n=(4;-7)=(a;b)$

přímka bude: $4x-7y+c=0$
c) dosadíš souřadnice bodu $K$
$4(-4)-7(-1)+c=0$
$c=9$
přímka: $4x-7y+9=0$

Fredy.00 · 19. 04. 2012 20:09

↑ zdenek1:

do té rovnice mám dosadit normálový anebo směrový vektor? učitelka zase říká že ten směrový

dominiksuroviak

↑ Fredy.00:Smerový dosadzuješ, keď priamku vyjadruješ parametrickou rovnicou. Normálový, keď chceš priamku vyjadriť všeobecnou rovnicou.

Cheop · 20. 04. 2012 08:40 — Editoval Cheop (20. 04. 2012 08:44)

↑ Fredy.00:
Podle obrázku

Červená část - parametrické vyjádření přímky
$x=3+7t\\y=3+4t$ -směrový vektor $\vec{s}=(7;\,4)$ jsou to ta čísla u t ta čísla bez t jsou x-ová resp y-ová souřadnice jednoho z bodů,
kterým přímka prochází tady bod $L=(3;\,3)$
Směrový vektor je $\vec{KL}=(3-(-4);\,3-(-1)=(7;\,4)$

Modrá část - obecná rovnice přímky
$4x-7y+9=0$ - normálový vektor $\vec{n}=(4;\,-7$ jsou to ta čísla u x a y

Zelená část - směrnicový tvar přímky
$y=\frac{4x}{7}+\frac 97$ - jde vyjádřit z obecné rovnice tím, že osamostatníme y

Jak vidíš pořád je to jedna přímka

Rumburak

↑ Fredy.00:

Ahoj. Mám jednu radu: nesháněj "kuchařské recepty", ale snaž se porozumět teorii.

Přímku p v rovině lze určít dvěma typickými způsoby:

I. bodem, jímž prochází, a směrem , s nímž je rovnoběžná ;

II. bodem, jímž prochází, a směrem , k němuž je kolmá.

V obou případech budeme vycházet z předpokladu, že směr je zadán nenulovým vektorem - to je základní možnost, jak určit směr.

Ad I. Tento způsob bezprostředně vede k parametrickým rovnicím přímky.

Jestliže přímka $p$ prochází bodem $P$ a je rovnoběžná s vektorem $\vec{s}\ne \vec{0}$ , potom obecný bod $X$ roviny leží na přímce $p$ tehdy a jen tehdy,
když vektor $\vec{PX}$ je rovnoběžný s vektorem $\vec{s}$ (včetně možnosti, že $\vec{PX} = \vec{0}$ ). Tuto nutnou a postačující podmínku můžeme vyjádřit
algebraicky:

existuje reálné číslo $t$ takové, že $\vec{PX} = t\cdot \vec{s}$ .

Rovnici v tomto výroku můžeme zapsat i v některém z ekvivalentních tvarů $X-P = t \cdot \vec{s}$ , $X = P + t\cdot \vec{s}$ . Poslední z nich se nazývá
parametrickou rovnicí přímky ve vektorovém tvaru - rozepsáním po souřadnicích z ní získáme obvyklou soustavu parametrických rovnic .
Vektor $\vec{s}\ne \vec{0}$ nazýváme směrovým vektorem přímky $p$ . Za směrový vektor přímky $p$ můžeme považovat i libovolný nenulový násobek $\vec{u}$
vektoru $\vec{s}$ (výše popsaná konstrukce provedená s takovým vektorem $\vec{u}$ by popisovala tutéž přímku).

Ad 2. Tento způsob bezprostředně vede k obecné rovnici přímky.

Jestliže přímka $p$ prochází bodem $P$ a je kolmá k vektoru $\vec{n} =(a,b) \ne \vec{0}$ , potom obecný bod $X$ roviny leží na přímce $p$ tehdy a jen tehdy,
když vektor $\vec{PX}$ je kolmý k vektoru $\vec{n}$ (včetně možnosti, že $\vec{PX} = \vec{0}$ ). Tuto nutnou a postačující podmínku můžeme vyjádřit
algebraicky pomocí skalárního součinu:

$\vec{n}\cdot \vec{PX} = 0$ .

Dosazením $\vec{PX} = X-P$ do předchozí rovnice , rozepsáním skalárního součinu podle jeho definice a algebraickou úpravou dostaneme její známý tvar

$ax + by + c = 0$ ,

kde konstanta $c$ závisí na vektoru $\vec{n}$ a bodu $P$ . Vektor $\vec{n}\ne \vec{0}$ nazýváme normálovým vektorem přímky $p$ . Za normálový vektor přímky $p$
můžeme považovat i libovolný nenulový násobek $\vec{m}$ vektoru $\vec{n}$ (výše popsaná konstrukce provedená s takovým vektorem $\vec{m}$ by popisovala tutéž přímku).

Snadno lze dokázat, že normálový vektor přímky je kolmý k jejímu směrovému vektoru.

Popsané způsoby poskytují i návody, jak parametrickou či obecnou rovnici přímky sestavit.