Matematické Fórum

martanko · 24. 10. 2008 17:35

↑↑ Marian:
rozlozit 99 na 9 a 11 ma tiez napadlo.. aj to ze najst nejak ci je delitelne 9 ... 11 je to horse, a jak to spojit?

martanko · 24. 10. 2008 19:19

lidi pls..

Marian · 24. 10. 2008 22:20 — Editoval Marian (24. 10. 2008 22:52)

↑ martanko:
Úloha 1. Označím ciferný součet čísla N jako $C(N)$ , jeho alternující součet $A(N)$ . Je-li $N=31a513b$ , máš odtud snadno

Pro splnění podmínek zadání potřebuješ, aby existovalo přirozené číslo m a celé číslo n takové, že

Odečtením těchto rovnic dostáváš vztah
$18=9m-11n\quad\Rightarrow\quad 11n=9(k-2)\quad\Rightarrow\quad 9|n$ .
Protože a, b jsou cifry, je mimo jiné $0\le a+b\le 18$ . Teď už by to mělo být pro tebe snadné. Stačí volit (moc voleb to nebude) číslo n takové celé, že jejím dělitelem je devítka, tedy n=0,+9, -9, +18, -18, etc. Mohl bys postupovat ale i tak, že projdeš všechny součty a+b (jsou omezené zdola nulou, zhora 18) takové, že vyhovují podmínkám výše

Marian · 24. 10. 2008 22:59 — Editoval Marian (24. 10. 2008 22:59)

Úloha 2. Využiji toho, že platí (předpokládám, že se jedná o desítkovou soustavu):

Odtud jasně plyne to, co potřebuješ dokázat.

Marian · 24. 10. 2008 23:10 — Editoval Marian (24. 10. 2008 23:40)

Úloha 3. Lze řešit pomocí lineárních diofantických rovnic. Poučení o těchto věcech nalezneš ve fantastické knize zde.

Marian · 24. 10. 2008 23:15 — Editoval Marian (25. 10. 2008 10:19)

Úloha 4.
Stačí si uvědomit, jak takové číslo vypadá (tedy ne všechno tě bude zajímat - jen to, co budeš potřebovat k tomu kterému znaku dělitelnosti). Znaky dělitelnosti jistě znáš. Vidím, že na dělitelnost sedmičkou toto číslo testovat nemáš, takže o to je tvá situace snazší.

______________
Znaky dělitelnosti:
(a), (b), (c)

martanko · 25. 10. 2008 16:37

↑ Marian:
vdaka za rady, este jedna otazka na teba.. existuje ta kniha aj v cestine alebo este lepsie v slovencine? bohuzial moja anglina je na urovni uplneho zaciatkocnika kedze sa venujem nemcine

martanko · 25. 10. 2008 22:50

Na tabuli je napísané štvorciferné číslo deliteľné ôsmimi, ktorého posledná cifra je 8. Keby sme poslednú cifru nahradili cifrou 7, získali by sme číslo deliteľné deviatimi. Keby sme však poslednú cifru nahradili cifrou 9, získali by sme číslo deliteľné siedmimi. Určte číslo, ktoré je napísané na tabuli.

zacal som takto 8|abc8
9|abc7
7|abc9

snazil som sa to aj rozpisat do tvaru 1000a+100b+10c+8=8.x ..ale nic ma nenapada.. uz neviem ako dalej :(

Marian · 27. 10. 2008 06:35 — Editoval Marian (27. 10. 2008 09:42)

↑ martanko:

Vím, o čem hovoříš, protože jsem studoval germanistiku. Knihu budeš těžko shánět v češtině nebo slovenštině. Je někdy vůbec doslova zázrakem, že existuje (by?) nelegální elektronická verze v originále. Pokus se číst, popř. něco překládat z této knihy (ku prospěchu ti budiž fakt, že je napsána srozumitelně). Sám pochopíš, že číst "takovou" matematiku, která je prezentována v nabízené knize nakladatelství Springer, anglicky je fraška. Obráceně to neplatí, že by angličtinář mohl po 20 stránkách číst německou matematiku. Mě osobně němčina poskytuje obrovské možnosti pro vyjadřování jemných rozdílů, v angličtině takovou možnost zatím nevidím. Ale na matematiku stačí i angličtina. Versuch einfach, das Angenehme mit dem Nützlichem zu verbinden. Bald kannst du die ersten Erfolge spüren, denn meinstens geht es shneller, als man denkt.

Viel Glück und Spaß mit Mathe!

Marian · 27. 10. 2008 08:08 — Editoval Marian (28. 10. 2008 06:34)

↑ martanko:
Ta dělitelnost sedmičkou to komplikuje. Nicméně z prvých dvou podmínek, které jsi stanovil, se dají vyvodit následující fakta:

1. Přirozené číslo je dělitelné osmi právě tehdy, když je jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi. Tedy muselo by být (z tvé prvé podmínky), že 8|(bc8). Jen6e trojciferné číslo končící osmičkou je dělitelné osmi pouze v případě, když platí $(bc8)_{10}=8\cdot (5k+1),\quad k\in\mathbb{N}$ . To je ekvivalentní s
$100b+10c+8=40k+8\quad\Leftrightarrow\quad 10(10b+c)=40k\quad\Leftrightarrow\quad 10b+c=4k,\quad k\in\mathbb{N}\quad\Leftrightarrow\quad 4|(bc)_{10}.$

2. Dělitelnost devíti dává snadno druhou podmínku, tj. $a+b+c+7=9l,\quad l\in\mathbb{N}$ .
________________

Protože součty a+b jsou omezené a a je kladné, platí přesněji $1\le a+b\le 18$ . Bod 1. společně s bodem 3. se dá rozvést ještě takto (nebo? cifry čísla (bc)_10 nemohou být jakékoliv):

1a. $c=0\quad\Rightarrow\quad b\in\{0,2,4,6,8\}\quad\Rightarrow a+b=11.$

2a. $c=2\quad\Rightarrow\quad b\in\{ 1,3,5,7,9\}\quad\Rightarrow\quad a+b\in\{9,18\}.$

3a. $c=4\quad\Rightarrow\quad b\in\{0,2,4,6,8\}\quad\Rightarrow a+b\in\{ 7,16\}.$

4a. $c=6\quad\Rightarrow\quad b\in\{1,3,5,7,9\}\quad\Rightarrow a+b\in\{ 5,14\}.$

5a. $c=8\quad\Rightarrow\quad b\in\{0,2,4,6,8\}\quad\Rightarrow a+b\in\{ 3,12\}.$ .
_________________

Teď se musí zapojit ještě podmínka s dělitelností sedmičkou. Dostal jsem několik omezujících podmínek pro cifry hledaného čísla a, b, c, nicméně nepřipadalo mi to příliš použitelné.

Editace 1. Tak už mám vyřešeno. Ale je toho více, takže řešení připíši později. Dle mého názoru (pokud nemám ve výpočtu chybu) vyhovují pouze tyto trojice:
(a,b,c)=(4,5,2),
(a,b,c)=(7,0,4),
(a,b,c)=(9,5,6).

Editace 2. Drobná chyba se přece jen vloudila, níže jsem uvedl kompletní postup, kde se věc napravila. Chyba vznikla přehlédnutím, použitý aparát byl přesný. Vyhovuje totiž dvojice (podobně jak píše kolega musicxx níže) (a,b,c)=(2,0,0).

martanko · 27. 10. 2008 09:30

↑ Marian:
ani nevies ako som ti neskutocne vdacny.. teoria cisel je pekna, ale taketo vypocty ma nebavia :/ ..tak tomu aj tazsie chapem
co robis teraz ked si germanista matikar? :)

musixx · 27. 10. 2008 09:45 — Editoval musixx (27. 10. 2008 09:52)

↑↑ martanko: Uloha c. 2:
$17\ |\ a_n\cdots a_1a_0\ \Longleftrightarrow\ 17\ |\ (a_n\cdots a_2a_1-5a_0)$ . Oznacme cislo $x=a_n\cdots a_2a_1$ . Pak mame ukazat ekvivalenci $17|(x-5a_0)\ \Longleftrightarrow\ 17\ |\ (10x+a_0)$ . 10 a 17 jsou nesoudelne, 50 je kongruentni -1 modulo 17, tedy mohu psat
$x-5a_0\equiv0\ (17) \ \Longleftrightarrow\ 10x-50a_0\equiv0\ (17)\ \Longleftrightarrow\ 10x+a_0\equiv0\ (17)$

EDIT: hmm, pardon, nevsiml jsem si, ze toto tema ma uz 2 stranky, takze jsem reagoval na ukol, ktery uz Marian vyresil...

musixx · 27. 10. 2008 09:58 — Editoval musixx (27. 10. 2008 10:23)

↑ Marian: Zdravim kolegu teoretickeho-ciselnika. Take jsem ji na pgs delal... K uloze c. 3 se da najit take pomerne elegantni reseni:
$72\ |\ (10n+8)\ \Longleftrightarrow\ 10n+8\equiv0\ (72)\ \Longleftrightarrow\ 5n+4\equiv0\ (36)\ \Longleftrightarrow\ 5n+4+36\equiv0\ (36)\ \Longleftrightarrow\ n+8\equiv0\ (36)$ . Tedy resenim jsou vsechna 'n', ktera po deleni 36 davaji zbytek -8, tedy 28.

Posledni uloha se tez da resit soustavou kongruenci a zakladnimi pravidly pro pocitani s nima. Oznacme $x=abc$ hledanou "cast cisla". Pak mame resit:
$10x+8\equiv0\ (8)\nl 10x+7\equiv0\ (9)\nl 10x+9\equiv0\ (7)$ ,
tedy
$2x\equiv0\ (8)\nl x\equiv2\ (9)\nl 10x\equiv5\ (7)$ ,
tedy
$x\equiv0\ (4)\nl x\equiv2\ (9)\nl 2x\equiv1\ (7)$ ,
tedy
$x\equiv0\ (4)\nl x\equiv2\ (9)\nl 2x\equiv8\ (7)$ ,
tedy
$x\equiv0\ (4)\nl x\equiv2\ (9)\nl x\equiv4\ (7)$ ,
tedy (k,l,m jsou cela cisla):
$x=2+9k$ ,
a proto
$9k+2\equiv4\ (7)$ , tedy $2k\equiv2\ (7)$ , tedy $k\equiv1\ (7)$ , tedy $k=1+7l$ , tedy $x=2+9k=2+9(1+7l)=11+9\cdot7l$ , a proto
$11+9\cdot7l\equiv0\ (4)$ , tedy $-l\equiv1(4)$ , tedy $l=3+4m$ , tedy $x=11+9\cdot7l=11+9\cdot7(3+4m)=200+9\cdot7\cdot4m$ .

Trojciferna x tohle splnujici jsou 200 (m=0), 452 (m=1), 704 (m=2), 956 (m=3), tedy resenim jsou cisla 2008, 4528, 7048 a 9568.

martanko · 27. 10. 2008 22:27

↑ musixx:
moc tomu nerozumiem..kongruencie ma cakaju az o dva tyzdne, vyzera to zaujimavo :)

Marian · 28. 10. 2008 06:26 — Editoval Marian (28. 10. 2008 08:28)

↑ martanko:
Můj postup je snad více elementární, i když modulární aritmetika je v něm implicitně obsažena tak jako tak. Připomenu kriterium dělitelnosti sedmičkou: je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice od zadu vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5, je původní číslo dělitelné beze zbytku sedmičkou - dá se nalézt zde.

Za vysvětlené a známé budu považovat body 1. a 2. z ↑ Marian:. Body 1i., i=a,b,c,d, ještě pro jistotu připomenu. Tedy:

1a. Nech? c=0. Pak podle podmínky dělitelnosti čísla (bc)_10 čtyřkou může pro cifru b nastat pouze $b\in\{ 0,2,4,6,8\}$ . Dosadím-li c=0 do podmínky 2., máme a+b+7=9n. Protože cifry a, b, c jsou nezáporná celá čísla, přičemž nutně a>0, platí nerovnost
$1+0+7\le a+b+7\le 9+8+7=23,\quad a+b+7=9n,\;n\in\mathbb{N}\quad\Rightarrow\quad \left (a+b+7=18\quad\vee\quad a+b+7=9\right ).$
Máme proto dvě možnosti: buď a+b=11 nebo a+b=2. Nyní se použije kriterium dělitelnosti sedmičkou. Podle výše uvedeného je číslo (abc9)_10 dělitelné beze zbytku sedmičkou tehdy a jen tehdy, když platí
$1\cdot 9+3\cdot c+2\cdot b+6\cdot a=7m,\; m\in\mathbb{N}.$
Dosadíme c=0 a použijeme a+b=11 takto:

Vyhovují ale pouze volby a=1 (m_1=1) a a=8 (m_1=5). Odtud ze vztahu a+b=11 dopočítáš příslušná b-čka. Zjistíš ale, že ani jedno nevyhovuje předem zjištěným podmínkám.

Podobně se použije faktu, že a+b=2, a to:

Odtud a=2 nebo a=9. Ze vztahu a+b=2 vidíme ale, že jedinou správnou volbou je hodnota a=2, která implikuje b=0. První trojicí (a,b,c), která vyhovuje, je (a,b,c)=(2,0,0).

Zcela analogicky se zdůvodní a odovodí další trojice, které vyhoví zadání. Chtělo by to asi ještě rozebrat kriterium dělitelnosti sedmičkou, které se tady použilo a dokázat jej. To můžeš zkusit sám, není to těžké.

martanko

ako by ste dokazali, ze ak a|b , a|c tak potom a|(c-b)

zacal som takto...

a|c ... c = a.x z toho a = c/x
a|b ... b = a.y z toho a = b/y

takze c/x = b/y vynasobim cislo xy a potom

cy = bx prehodime bx na lavu stranu
cy - bx = 0 (mam pocit ze toto sa uz blizi k cielu kedze mam rozdiel cy-bx .. len uz neviem co s tym dalej :/

jelena · 28. 10. 2008 23:19

↑ martanko:

Zdravím :-)

já bych to udělala takto, používam tvoje označení (ale více zvykem (jelikož mluvime o přirozených čislech) je misto x, y použit třeba m, n):

c/a = x, b/a= y

(c-b)/a = c/a - b/a = x - y

Může být?

martanko · 28. 10. 2008 23:34

↑ jelena:
nemam v tom moc jasno.. takze ty hovoris toto:

c = a.x .... teda x = c/a
b = a.y .... teda y = b/a

nechapem ako si sa dopracovala k tomuto (c-b)/a = c/a - b/a = x - y
to len tak si poviem ze (c-b)/a a potom si uz upravim podla seba aby mi to vyslo?

martanko · 28. 10. 2008 23:36

teraz ma napadlo ze musim nejak dostat sucin zatvoriek, potom to bude platit.. takze ak som tam vyssie pisal ze cy - bx = 0 tak to sa da napisat ako (c-b).A .. velke A bude nieco, co ma nezaujima :) z toho by sa to snad dalo uz ze aj a|(c-b) dufam ze to mam dobre :)

jelena · 29. 10. 2008 13:26

↑ martanko:

Zdravím :-)

POužila jsem jen toto:

(c-b)/a = (ax-ay)/a= (a(x-y))/a = x - y

(x - y) bude číslo celé (jelikož nemáme ohovořeno, které z čísel b nebo c je vetší, ani zda jsou cela nebo přirozena), to je to, co potřebuješ.

Marian · 29. 10. 2008 14:05

↑ jelena:

Použila si velice zajímavé slovo, které jsem ještě neslyšel, totiž "ohovořeno". Tuším, co jsi tím myslela, jen by mě zajímalo, jak je to rusky.
:-)

Cheop · 29. 10. 2008 14:47

↑ Marian:
Rusky by to mělo být ogovori? (vyslovuje se ogavari? ) jestli je to špatně tak mě prosím Jelenko oprav.
Ta ruština už není pro mě, i když jsem se ji učil 12 let.

jelena · 29. 10. 2008 17:06 — Editoval jelena (29. 10. 2008 17:07)

↑ Marian:, ↑ Cheop:

Zdravím vás :-)

Kolega Cheop má naprostou pravdu a význam je "stanovit předem", "domluvít si podmínky". Je ještě jiný význam - "očernit někoho, křívá pomluva". Toto slovo ve významu "předem domluvit" využívam s jistotou, že je zcela české :-), jelikož má stejný kořen jako "hovor". http://www.multitran.ru/c/m.exe?t=167010_2_1 - malá ukázka použití.

Rusky se vyslovuje dokonce "agavari?", nebo? přízvuk je až na závěr na "i". Česky ho samozřejmě vyslovuji velmi pěkně i s poctivým "ř". A to "ř" jsem se naučila od učitelky angličtiny ruského původu :-)

------

A co dělitelnost - je můj postup OK?

martanko · 29. 10. 2008 22:24

↑ jelena:

uz je to trosku jasnejsie. spoluziacka nasla snad (podla mna) najelegantnejsie riesenie..skoro sme sa aj zhodli :D

c = a.x
b = a.y odatame a dostaneme

c-b = a(x-y) .. z toho priamo vidno ze a|(c-b)

ake easy :)

musixx · 30. 10. 2008 08:45

↑ martanko: Musim se teda zastat jeleny - jakepak elegantnejsi reseni jste to nasli? Vzdyt presne tohle ti tady bylo pred dvema dny razeno...

Matematické Fórum

#26 24. 10. 2008 17:35

Re: teoria cisel

#27 24. 10. 2008 19:19

Re: teoria cisel

#28 24. 10. 2008 22:20 — Editoval Marian (24. 10. 2008 22:52)

Re: teoria cisel

#29 24. 10. 2008 22:59 — Editoval Marian (24. 10. 2008 22:59)

Re: teoria cisel

#30 24. 10. 2008 23:10 — Editoval Marian (24. 10. 2008 23:40)

Re: teoria cisel

#31 24. 10. 2008 23:15 — Editoval Marian (25. 10. 2008 10:19)

Re: teoria cisel

#32 25. 10. 2008 16:37

Re: teoria cisel

#33 25. 10. 2008 22:50

Re: teoria cisel

#34 27. 10. 2008 06:35 — Editoval Marian (27. 10. 2008 09:42)

Re: teoria cisel

#35 27. 10. 2008 08:08 — Editoval Marian (28. 10. 2008 06:34)

Re: teoria cisel

#36 27. 10. 2008 09:30

Re: teoria cisel

#37 27. 10. 2008 09:45 — Editoval musixx (27. 10. 2008 09:52)

Re: teoria cisel

#38 27. 10. 2008 09:58 — Editoval musixx (27. 10. 2008 10:23)

Re: teoria cisel

#39 27. 10. 2008 22:27

Re: teoria cisel

#40 28. 10. 2008 06:26 — Editoval Marian (28. 10. 2008 08:28)

Re: teoria cisel

#41 28. 10. 2008 22:17 — Editoval martanko (28. 10. 2008 23:10)

Re: teoria cisel

#42 28. 10. 2008 23:19

Re: teoria cisel

#43 28. 10. 2008 23:34

Re: teoria cisel

#44 28. 10. 2008 23:36

Re: teoria cisel

#45 29. 10. 2008 13:26

Re: teoria cisel

#46 29. 10. 2008 14:05

Re: teoria cisel

#47 29. 10. 2008 14:47

Re: teoria cisel

#48 29. 10. 2008 17:06 — Editoval jelena (29. 10. 2008 17:07)

Re: teoria cisel

#49 29. 10. 2008 22:24

Re: teoria cisel

#50 30. 10. 2008 08:45

Re: teoria cisel

Zápatí