Matematické Fórum

Joerex · 20. 04. 2012 13:59

Zdravím, potřeboval bych opět pomoci s vyřešením konvergence řady.
$\sum_{}^{} \frac{(-1)^k*k}{3k^2+2}$

Tentokrát mne ani nenapadá jaké kriterium by se mělo použít, proto bych byl vděčný za nějaké podrobnější vysvětlení.

vanok · 20. 04. 2012 14:19

Ahoj
↑ Joerex:,

Toto sa oplati pozriet.

http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

Joerex · 20. 04. 2012 15:05

Takže použiji Leibnizovo kriterium.

Nutná podmínka je splněna jelikož $\lim_{k\to\infty}{a_{k}}=0$

pote tedy $|a_{k}|\ge |a_{k+1}|$
$\frac{1}{3k+2}\ge \frac{1}{3(k+1)+2}$ lze $k$ takto pokratit?

pokud ano tak řada tedy konverguje

Rumburak

↑ Joerex:

Ahoj . Zbývá dokázat monotonii posloupnosti $\left( \frac{k}{3k^2+2}\right)$ - alespoň od jistého indexu počínaje výše, tj. ukázat,
že pro dostatečně velké hodnoty indexu $k$ je

(1) $\frac{k}{3k^2+2}\ge \frac{k+1}{3(k+1)^2+2}$ .

"Krátit" tuto nerovnici způsobem, který uvádíš, korektní není . V podobných případech postupujeme tak, že sestavíme výraz

(2) $L_k-P_k =\frac{k}{3k^2+2} - \frac{k+1}{3(k+1)^2+2}$

a snažíme se ukázat, že pro dostatečně velké hodnoty proměnné $k$ je nezáporný. Algebraickou úpravou po sloučení zlomků
se v čitateli leccos vyruší a výsledný tvar bude přehlednější.