Matematické Fórum

Michaell0071 · 20. 04. 2012 17:28

Zdravím vás lidi, mohl bych poprosit o kontrolu vypočteného určitého integrálu a popřípadě opravu chyby? $\int_{0}^{1}\sqrt{1+(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}})^{2}dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{4}(e^{x}-e^{-x})^{2}+1dx$ volím substituci: $t=e^{-x};dt=-e^{-x}dx$ $\int_{1}^{e^{-1}}-\frac{\frac{1}{2}(t^{2}+1)}{t^{2}}dt=-\frac{1}{2}\int_{1}^{e^{-1}}\frac{t^{2}+1}{t^{2}}dt=-\frac{1}{2}\int_{1}^{e^{-1}}\frac{t^{2}}{t^{2}}dt+\int_{1}^{e^{-1}}\frac{1}{t^{2}}dt=$ $=-\frac{1}{2}t+\int_{1}^{e^{-1}}t^{-2}dt=-\frac{1}{2}t+\frac{t^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})=-\frac{1}{2}(e^{-x}-e^{x})=$ $\frac{1}{2}(e^{-1}-e)-\frac{1}{2}(e^{-e^{-1}}-e^{e^{-1}})$ Nezadával jsem tam meze po integraci do hranatých závorek, nevím jak se to dělá. Tenhle příklad se mi zdá ale dost složitý. Myslíte že je to dobře? Díky MOC

Bati · 20. 04. 2012 17:34

Zdravím,
upřímně, řešení se mi nechce kontrolovat, protože je zbytečně složité. Jsme v kategorii vysoká škola, tzn., že máme k dispozici hyperbolické funkce, konkrétně pro tento příklad:
$\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}2$
$\cosh^2{x}=1+\sinh^2{x}$
Použitím těchto rovnic pro daný integrál vyjde naprostá trivialita.

Michaell0071 · 20. 04. 2012 17:41

↑ Bati:Je to možné, ale tyto funkce sme neprobírali nějak nevím jak s nimi počítat.

Bati · 20. 04. 2012 17:46 — Editoval Bati (20. 04. 2012 17:46)

To je zvláštní, pokud se teda musíme obejít bez nich, hned první zásadní chybu vidím v zapomenutí odmocniny ve druhém kroku.

Takjo · 20. 04. 2012 17:51

↑ Bati:
Dobrý den,
hned za prvním rovnítkem je cosi divného... :)

Bati · 20. 04. 2012 18:13 — Editoval Bati (20. 04. 2012 18:14)

S tou odmocninou to pak není tak jednoduché - nerozpadne se to na zlomky, které by se daly integrovat, nicméně obyčejnou substitucí $t=e^x$ a vytýkáním to lze jednoduše odmocnit takto :