Matematické Fórum

constr · 20. 04. 2012 14:57 — Editoval constr (25. 04. 2012 19:52)

Pěkné odpoledne přeji.
Následující 3 úlohy, které jsou těsně spjaty, pocházejí z knihy Group theory I.; Michio Suzuki. Jejich řešení jsem nedokončil.

Definice:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Základní věty (bez důkazů):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

1. Nechť $G$ je grupa taková, že její centrum $Z(G)=\{1\}$ je triviální. Ukažte, že centralizér grupy vnitřních autmorfismů $Inn G$ v grupě automorfismů $Aut G$ je $\{1\}$ a že $Z(Aut G)=\{1\}$ .

2. Uvažte, že $Z(G)=\{1\}$ a $InnG\ char\ AutG$ . Nechť $A=AutG$ . Ukažte, že každý automorfismus grupy $A$ je vnitřní.

Návod:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

3. Nechť $G$ je neabelovská jednoduchá grupa. Ukažte, že libovolný automorfismus z $AutG$ je vnitřní.

ruamaixanh

Zdravím,
1) Uvažujme homomorfismus $\varphi: G \rightarrow Inn(G)$ , kde $\varphi (g)=\gamma_g$ ( $\gamma_g$ značí konjugace podle $g$ ). Není těžké dokázat, že $ker \varphi$ je $Z(G)$ , což je podle zadání $1$ . Homomorfismus je také zřejmě surjektivní, a proto $G\cong Inn(G) \Rightarrow Z(Inn(G))\cong Z(G)=1$ . Dále platí: $Z(Aut(G))\le Z(Inn(G))=1$ , protože $Inn(G)\le Aut(G)$
Edit: $Z(Inn(G))=1$ ještě neznamená, že $C_{Aut(G)}(Inn(G))=1$ . Předpokládejme, že $\exists \varrho \in C_{Aut(G)}(Inn(G))$ , pak pro každé $g \in G$ platí: $\varrho \gamma_g=\gamma_g \varrho \Rightarrow \gamma =\varrho \gamma_g \varrho^{-1}=\gamma_{\varrho(g)}$ pro každé $g\in G \Rightarrow ghg^{-1}=\varrho(g)h\varrho(g)^-1 \Rightarrow \varrho(g)^{-1} g h g^{-1} \varrho(g)=h$ pro každé $h \in G \Rightarrow \varrho(g)^{-1}g \in Z(G) = 1$ , a proto $\varrho$ je identita.