Matematické Fórum

lukaszh · 25. 10. 2008 12:04

Zdravím,
mohol by mi niekto vysvetli? postup pri hľadaní $f\circ g, g\circ f$ pre funkcie typu:

ttopi · 25. 10. 2008 12:23 — Editoval ttopi (25. 10. 2008 13:09)

$f\circ g$ znamená g(f(x)) čili najdeš hodnotu f(x) a ta pro tebe bude proměnou v g(x) a opačně pro $g\circ f$ je f(g(x)).

Alespoň tak nás to učili.

a)f(x) pro x z <1;2> se pohybuje v <4;8> a to pak dosadíš g(x) ovšem tam je zase <1;2> takže pro 2x-1 nemáme žádné x a <4;8> dosadíš do x.

b)Z toho $x^2$ ti vyleze interval <0;+nekonečno) a pak od <0;1) dosadíš v g(x) do x. Z <1;2> do 2x-1 a z (1;+nekonečno) zase do x.

Je tomu alespoň trošku rozumět?

Například vemu si x=-1,41... (prostě -odmocnina z 2)
V f(x) patří do intervalu pro $x^2$ a f(-1,41..) je tedy 2. A 2 patří v g(x) do intervalo <1;2> takže se zobrazí podle (2x-1) což je 3.

Takže $-\sqrt{2}$ se v $f\circ g=g(f(x))$ zobrazí na číslo $3$ Podle tohoto postupu můžeš zjistit u libovolného čísla, na co se zobrazí :-)

EDIT: Jentak letmo jsem to přejel a vyšlo mi (pro $f\circ g$ ) :

V zobrazení $f\circ g=g(f(x))$ se zobrazí:
$(-\infty;-\sqrt2)$ na $x$
$<-\sqrt2;-1>$ na $2x-1$
$(-1;1) \cup <1;2> \cup (2;+\infty) = (-1;+\infty)$ na $x$ .

Čili jenom z čísla z intervalu $<-\sqrt2;-1>$ se v f(x) zobrazí na $<1;2>$ a tedy v g(x) na $2x-1$ . Ostatní x se v f(x) zobrazí na $(-\infty;1) \cup (2;+\infty)$ a v g(x) pak na $x$ .

Náhodný test:
x=-5. f(x)=25, g(x)= 25
x=0, f(x)=0, g(x)= 0
x=-1,3, f(x)=1,69, g(x)=2,38
x=-1, f(x)=1 g(x)=1

lukaszh · 25. 10. 2008 14:04

↑ ttopi:
To a) asi chápem. Čiže f(x) sa zobrazí na <4;8> čo je interval, ktorý pre g(x) spadá do (2;oo). Preto sa 4x zobrazí do x funkcie g(x). Chápem to dobre?
b)-cko nechapem. Neviem odkiaľ si zobral interval <0;+oo) a potom <0;1). Mohol by si to ešte lepšie opísa? prosím?

ttopi · 25. 10. 2008 14:12

Ano, pochopil si to správně.

Ad b) $(-\infty;1) \cup (2;+\infty)$ když umocníš na druhou (libovolné číslo z tohoto sjednocení) tak dostaneš číslo z intervalu $<0;+\infty)$ a ten dosazuješ do g(x). Z tohoto $<0;+\infty)$ intervalu musíš vyříznout interval $<1;2>$ který se zobrazí na 2x-1. Teď musíš najít, která x se po dosazení do f(x) zobrazí na interval $<1;2>$ - to jsou zřejmě čísla z intervalu $<-\sqrt2;-1>$ - zkus si libovolná čísla z toho intervalu umocnit, protože tentio interval patří v f(x) do toho sjednocení, proto se umocňuje, a dostaneš interval <1;2> který se v g(x) zobrazí na 2x-1. Všechna osttaní čísla když zobrazíš v f(x), dostaneš se opět do toho sjednocení, které se v g(x) zobrazí na x.

Už trošku rozumíš?

lukaszh · 25. 10. 2008 14:14

↑ ttopi:
Asi áno, len si to ešte musím celé pozrie? :-)

ttopi · 25. 10. 2008 14:18

lukaszh · 25. 10. 2008 15:55

Našiel som ešte príklad a nevychádza mi nájs? $f(g(x))$

Ja som to riešil takto:
Funkcia g je pre x z intervalu <0;1> v intervale <0;2>. Pre iné x je v intervale $(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$ Keď to spojím s funkciou f dostanem:

Podľa výsledkov je to však zle. Neviete kde je chyba?

ttopi · 26. 10. 2008 17:06

V g(x) se <0;1> zobrazí na <0;2> a ostatní x se zobrazí na (-nekonečno;-2) sjednoceno (2;+nekonečno).

v f(x) se zobrazí na x^2 pouze x z <0;1> , takže to je pro ta x, která se v g(x) zobrazí na <0;1> a to jsou x z <0;0,5> Zbytek jde na 3x.

Takže mě vyšlo

Je to podle výsledků dobře?

jelena · 26. 10. 2008 17:32

↑ ttopi:

Zdravím :-)

s myslenkou rozdelení intervalu pro x na 3 intervaly souhlasim:

x na 0 až 0,5 -> hodnota g(x)=2x je v intervalu 0 až 1, pro f (g(x)) použíjeme předpis x^2, f(g(x))=(2x)^2

x na 0, 5 až 1 -> hodnota g(x)=2x je v intervalu 1 až 2, pro f(g(x)) použíjeme předpis 3x, f(g(x))=3(2x)

x mimo interval 0 az 1 -> hodnota g(x)=4x - 2 je mimo interval 0 az 2, pro f(g(x)) použíjeme předpis 3x, f(g(x))=3(4x - 2)

Závorky pro okraje intervalu urcite doplnite, moc se omlouvám za úpravu, je to jen tak narychlo.

Souhlas?

ttopi · 26. 10. 2008 19:01

↑ jelena:

Uff...

Souhlasím, samozřejmě. Vůbec jsem si při psaní neuvědomoval, že k f(x) musím jako x táhnout to z g(x), tedy 2x a 4x-2, pak je to samozřejmě jak říkáš.

Takže f(g(x))= - (2x)^2 pro x z <0;0,5>
- 3(2x) pro x z (0,5;1>
- 3(4x-2) pro x mimo <0;1>

lukaszh · 26. 10. 2008 19:54

↑ ttopi: ↑ jelena:
Ďakujem, veľmi ste mi pomohli, ale aj tak som si na to našiel vlastný spôsob :-)

ttopi · 27. 10. 2008 07:57

↑ lukaszh:

Tak popiš svůj postup, jsem zvědavý :-)

lukaszh · 27. 10. 2008 23:23

↑ ttopi:
Nejde ani tak o postup, ako o sprehľadnenie zápisov. Ja som to predovšetkým nechápal kvôli tomu, že sa mi miešali tie x a f(x) do jedného, potom sa tam objavilo niekoľko veľa intervalov a problém bol vyzna? sa v tom. Pri hľadaní funkcie $f(g(x))$ je zadaná:

Tu si rozpíšem kde sa zobrazí g(x) podľa x-ových intervalov a potom:

Neviem, či to je správne z formálneho hľadiska, ale mne to pomáha. Možno si sa mi to snažil vysvetli? práve takto, tak potom sorry :-)))
P.S.: Keď ja som taký spomalený film :-D

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2008 12:04

Zložená funkcia

#2 25. 10. 2008 12:23 — Editoval ttopi (25. 10. 2008 13:09)

Re: Zložená funkcia

#3 25. 10. 2008 14:04

Re: Zložená funkcia

#4 25. 10. 2008 14:12

Re: Zložená funkcia

#5 25. 10. 2008 14:14

Re: Zložená funkcia

#6 25. 10. 2008 14:18

Re: Zložená funkcia

#7 25. 10. 2008 15:55

Re: Zložená funkcia

#8 26. 10. 2008 17:06

Re: Zložená funkcia

#9 26. 10. 2008 17:32

Re: Zložená funkcia

#10 26. 10. 2008 19:01

Re: Zložená funkcia

#11 26. 10. 2008 19:54

Re: Zložená funkcia

#12 27. 10. 2008 07:57

Re: Zložená funkcia

#13 27. 10. 2008 23:23

Re: Zložená funkcia

Zápatí