Matematické Fórum

rexous · 22. 04. 2012 13:40

Označme g(z)= 1/2 (z+1/z) pro každé z z množiny komplexních čísel, z se nerovná 0.
a) určete všechny dvojice z1 a z2 pro něž g(z1)=g(z2)
b) určete obraz jednotkové kružnice v zobrazení g(z)
c) určete obraz reálné osy v zobrazení g(z)

Za jakoukoli radu budu moc rád a děkuju

jardofpr

ahoj ↑ rexous:

a) $g(z1)=g(z2) \Leftrightarrow [(z1=z2) \vee (z1=1/z2)]$
b) $z=|z|\mathrm{e}^{i.\mathrm{arg}(z)}$
na jednotkovej kružnici platí $|z|=1$
teda $g(z)=g(\mathrm{e}^{i.\mathrm{arg(z)}}) =\dots=\cos{(\mathrm{arg(z)})}$

c) $g(x+0i)=g(x)=\frac{1}{2}(x+1/x)$
to je bijekcia množiny $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ na seba samu

(je to myslím špeciálny prípad Žukovského funkcie ak by si chcel o tom niečo nájsť)

rexous · 22. 04. 2012 14:17

Nemohl by jsi prosím trochu vysvětlit ten postuo. Jsem z toho nějaký nemoudrý. Ale i tak moc ti děkuju

jardofpr · 22. 04. 2012 14:25

↑ rexous:

ktorý z tých troch?

rexous · 22. 04. 2012 14:27

↑ jardofpr:
pokud možno vše

jardofpr

↑ rexous:

poznáš tieto vzťahy?

$z=\mathrm{Re}(z)+i.\mathrm{Im}(z)$ ( značí sa aj $x+iy$ )
$z=|z|.\mathrm{e}^{i\theta_{z}}=\sqrt{(\mathrm{Re}(z))^{2}+(\mathrm{Im}(z))^{2}}\,.\,(\cos{\theta_{z}}+i.\sin{\theta_{z}})$
$z_{1}=z_{2}\Leftrightarrow[(|z_{1}|=|z_{2}|)\wedge (\theta_{z_{1}}=\theta_{z_{2}})]$

kde uhol $\theta_{z}:=\mathrm{\arg}(z)$

$\cos{(z)}=\frac{\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}}{2}$

rexous · 22. 04. 2012 16:14

S těmito vzorci mám problém (myslím, že je vidím poprvé):

$z=|z|.\mathrm{e}^{i\theta_{z}}$

$\cos{(z)}=\frac{\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}}{2}$

Zbytek vzorců je mi znám :-)

zdenek1 · 22. 04. 2012 16:39

↑ rexous:
1) můžeš naprosto primitivně
$\frac{1}{2}\left(z_1+\frac1{z_1}\right)=\frac{1}{2}\left(z_2+\frac1{z_2}\right)$
$z_1-z_2+\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_2}=0$
$z_1-z_2+\frac{z_2-z_1}{z_1z_2}=0$
$(z_1-z_2)\left(1-\frac{1}{z_1z_2}\right)=0$
$z_1-z_2=0\ \vee\ 1=\frac{1}{z_1z_2}$
a dostáváš řešení od jardofpr

jardofpr

↑ rexous:

ako pracujete s komplexnými číslami potom? iba pomocou Re a Im?
a už robíte s funkciami napriek tomu?

toto $z=|z|.\mathrm{e}^{i\theta_{z}}$ je goniometrický tvar komplexného čísla
(alebo aj takto: $z=|z|(\cos{\theta_{z}}+\sin{\theta_{z}})$ )

$|z|$ je absolútna hodnota komplexného čísla (vzdialenosť z od 0 v komplexnej rovine)
teda $|z|=\sqrt{(\mathrm{Re}(z))^2+(\mathrm{Im}(z))^2}$

fakt si toto ešte nevidel/nepočul o tom?

$\theta_{z}$ značím argument komplexného čísla $\mathrm{arg}(z)$ ,
to je uhol ktorý zviera úsečka spájajúca $z$ a $0$ s osou x v kladnom smere

(malé modré c je hodnota $\cos{\theta_{z}}$ a s je $\sin{\theta_{z}}$ )

je to iný spôsob ako určiť jednoznačne komplexné číslo miesto reálnej a imaginárnej súradnice,
ktorý je jednoznačný keď vyberáme $\theta_{z}$ z $[0,2\pi)$

keďže $\sin^2{\theta_{z}}+\cos^2{\theta_{z}}=1$ , tak výraz $\cos{x}+i.\sin{x}$ pre $\theta_{z}\in [0,2\pi)$ je číslo $\tilde{z}$ na jednotkovej kružnici ktoré určuje smer kde $z$ leží
jeho vzdialenosť od $0$ je 1, takže prenásobenie číslom $|z|$ túto vzdialenosť zmení tak aby sa úsečka $0\tilde{z}$ natiahla až do bodu $z$

každé komplexné číslo vieme takto vyjadriť, a často je to užitočné

môže byť?

rexous · 22. 04. 2012 17:12

Tento vzorec znám
$z=|z|(\cos{\theta_{z}}+\sin{\theta_{z}})$
jen jsem ho neviděl v této podobě
$z=|z|.\mathrm{e}^{i\theta_{z}}$
Zbytek teorie a vzorců samozřejmě znám

jardofpr

↑ rexous:

oki, tak problém bol $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i.\sin{\theta}$ pre $\forall\theta \in \mathbb{R}$
a) urobil ↑ zdenek1: o niečo vyššie, to už by si mal zvládnuť

b) na jednotkovej kružnici pre každé $z$ platí $|z|=1$
takže budú všetky tvaru $z=|z|.\mathrm{e^{i\theta_{z}}}=1.\mathrm{e}^{i\theta_{z}}=\mathrm{e}^{i\theta_{z}}$

čo sa stane keď zobrazíme také číslo cez zobrazenie $g$ ?

$g(z)=g(e^{\theta_{z}})=\frac{1}{2}\bigg(\mathrm{e}^{\theta_{z}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{\theta_{z}}}\bigg)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{i\theta_{z}}+\mathrm{e}^{-i\theta_{z}})=\frac{\mathrm{e}^{i\theta_{z}}+\mathrm{e}^{-i\theta_{z}}}{2}=$

(ďalej vďaka $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i.\sin{\theta}$ )

$=\frac{(\cos{(\theta_{z})}+i.\sin{(\theta_{z})})+(\cos{(-\theta_{z})}+i.\sin{(-\theta_{z})})}{2}=$ (kosínus je párna funkcia, sínus nepárna)
$\frac{(\cos{(\theta_{z})}+i.\sin{(\theta_{z})})+(\cos{(\theta_{z})}-i.\sin{(\theta_{z})})}{2}=\frac{2\cos{\theta_{z}}}{2}=\cos{\theta_{z}}$

každé číslo z jednotkovej kružnice sa teda zobrazí na hodnotu svojho uhla $\theta_{z}$
čo ten uhol znamená je popísané vyššie

zdenek1 · 22. 04. 2012 18:25

↑ rexous:
Ještě doplním ↑ jardofpr: - je to stejné, jen jiný pohled na věc
b) $|z|=1$ ,
$\frac{1}{2}\left(z+\frac1z\right)=\frac{z^2+1}{2z}=\frac{z^2\cdot\bar{z}+\bar{z}}{2z\bar{z}}=\frac{z(z\bar{z})+\bar{z}}{2z\bar{z}}$ , kde $\bar z$ je číslo komplexně sdužené.
Protože platí $z\bar z=|z|^2$ , přechází výše uvedený výraz na
$\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{\text{Re}(z)+i\text{Im}(z)+\text{Re}(z)-i\text{Im}(z)}{2}=\text{Re}(z)$

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2012 13:40

Komplexní čísla

#2 22. 04. 2012 14:10 — Editoval jardofpr (22. 04. 2012 14:12)

Re: Komplexní čísla

#3 22. 04. 2012 14:17

Re: Komplexní čísla

#4 22. 04. 2012 14:25

Re: Komplexní čísla

#5 22. 04. 2012 14:27

Re: Komplexní čísla

#6 22. 04. 2012 14:42 — Editoval jardofpr (22. 04. 2012 14:43)

Re: Komplexní čísla

#7 22. 04. 2012 16:14

Re: Komplexní čísla

#8 22. 04. 2012 16:39

Re: Komplexní čísla

#9 22. 04. 2012 17:02 — Editoval jardofpr (22. 04. 2012 17:11)

Re: Komplexní čísla

#10 22. 04. 2012 17:12

Re: Komplexní čísla

#11 22. 04. 2012 17:54 — Editoval jardofpr (22. 04. 2012 17:55)

Re: Komplexní čísla

#12 22. 04. 2012 18:25

Re: Komplexní čísla

Zápatí